LIVRE

aux cirooDférences et (Y, je décris du centre de la plus grande avec un rayon égal à la différence de leurs rayons O'Â'» OÂ, une circonférence 01; puis je mène de l'autre centre (Y, une tangente 01 à cette circonférence. Je joins le point au point de contact I^ et je continue cette ligne jusqu'à la grande circonférence en A. Par le point O'^ je mène le rayon O'A' parallèle à lA, et je tire AA' qui est une tangente commune extérieure aux deux circonférences données.

Gomme on peut mener deux tangentes 01^ O'K du point C à la circonférence 01^ ayant mené O'K, on agit avec cette ligne comme avec CI; et on obtient une seconde tangente BB' extérieure aux deux circonférences données (*).

Occupons-nous maintenant de mener une tangente commune intérieure. Pour trouver la marche à suivre^ supposons encore le

problème résolu^ et soit CC une tangente commune intérieure. Menons les rayons OC^ CC, et par le point une parallèle à GG'i jusqu'à la renconti*e de O'C prolongé; les rayons O'C, OC étant perpendiculaires à CG, la figure OGG'M est un rectangle; l'angle OMO' est donc droite et OM est tangente à la circonférence de rayon (m. D'ailleurs O'M=0'C'+G'M=O'C'+OC, Donc, si nous décrivons une circonférence de G' comme centre, avec un rayon

(*) Ceux qui préfèrent la méthode synthétique commenceront par hidiquer cette coBStructiOD, qu'ils pourront justifier à posteriori comme il suit :

De ce que 01 où R — R'= R — lA, on conclut que lA = R' ; si on mène O'A' parallèle à OA, la figure lO'A'A est un parallélogramme, et même un rectangle, puisque Taogle I est droit (Oi tangente), AA' est donc perpendiculaire aux extrémités des rayons OA, C'A' des deux circonférences; c*est donc une tangente eommnne à ces deux courbes.

On démontre de même pour bU\

égal à O'C -|- oc, ii suffira pour avoir OM^ de mener du point une tangente à cotte circonférence; ce que nous savons faire. OM étant tracée, on achève aisément le rectangle OMC'C, qui comprend la tangente C'C. On est ainsi conduit à la construction suivante :

Pour mener une tangente commune intérieure à deux circonférences et 0', je décris du centre 0' de Tune^ avec un rayon égala la somme de leurs rayons^ une troisième circonférence^ cire. O'M; puis je mène de Tautre centre une tangente OM à cette noavclle circonférence. Je joins le centre 0' au point de contact H; la ligne O'M rencontre cire. 0' au point C; j'achève le rectangle OMC'C^ en menant le rayon OC parallèle à O'M, puis Joignant C è C; ce est la tangente commune cherchée.

Comme on peut généralement mener deux tangentes OM, OLdu point à cire. O'M, ayant mené OL, on agit avec cette ligne comme avec OM, et on obtient une seconde tangente commun^ intérieure DD' (*).

Discussion. Notre raisonnement prouve, dans Tan et Fautre cas, qne les laf*' gentes extérieures ne peuvent exister sans les tangentes O'f, O'K, et réciproque' nient ^V. la fig., p. 72); ni les tnnsentes intérieures sans les tangentes OM, Ot^t et réciproquemrnt (ûg. précédente). Il n*y a donc pas d'autres tangentes coUB* munes possibles que celles que nous avons indiquées.

Pour que les tangentes 0'\, O'K (page 72) puissent être menées, il fant et 1^ sufllt que le centre 0' ne soit pas intérieur à la circonférence décrite deOcomor*^ centre avec un ra>on égal à R— R', c'est-à-dire que Ton n'ait pas la distance de^ centres des circonférences données D< R — R'.

De même, pour que les tangentes OM, OL (p. 73) puissent être menées, Il faut et il suffît que le centre ne soit point intérieur à la circonférence décrite du centre 0' avec le rayon R + R'; c'est-à-dire que l'on n'ait pas D< R + R'. OéU po?(i, on peut résumer ainsi tons les cas possibles.

1* Si les ci rconfë renées données sont extérieures Tune à l'autre y on • D > R 4- R' et à fortiori D > R — U' : on peut donc alors mener les quatre tangentes communes.

2» Si les circonféreirces se touchent, D=R-i-R', et D>R— R'; la circonfé'

(•) Ceux qui préfèrent la méthode synthétique pourront commencer par faire les constructions indiquées, qu'ils justifieront ensuite comme dans le pre* micr cas.

De ce que 0Ttf=R'+R = 0'C'+C'M, on conclut C'M=OC; etc., comme dan< le cas précédent.