LIGNES PROPORTIONNELLES

Tbéorcine.

V £57. Toute ligne parallèle à Vun des côtés d'un triangle divise les autres côtés en parties proportionnelles.

Si DE est parallèle à BG, 7:^ =177;.

Do Jitl

Supposons que le rapport de AD à DB soit - , c'est-à-dire qu'une

commune mesure AI soit contenue 4 fois dans AD et 3 fois dans DB. AD étant divisée en 4 parties égales à AI, et DB en 3, menons

par chaque point de division une parallèle à DE ou à BG ; AE sera ainsi divisée en 4 parties, et EG en 3; je dis que les 7 parties de AG sont égales entre elles. Pour le prouver, je mène par chacun des points de division F, H, M,... line parallèle à AI que je termine à la parallèle horizontale inférieure. Je forme ainsi des triangles tels que AIP, qui sont égaux entre eux. Par ex.: AIF = J\JNE; en effet, MN=DS (côtés opposés d'un parallélogramme), etDS=AI par construction; donc MN=AÎ, PangleNME=IAF (correspondants); l'angle MNE=AIF (r:ôtés parallèles et dirigés dans le même sens) \ les deux triangles

8A COUP.S DE GÉOMÉTUIE.

sont donc égaux, et ME = AF. Chaque partie de AG étant égale à AF, AF est une commune mesure contenue 4 fois dans AE et 3 fois

dans EC. Le rapport de AE à EC est - comme celui de AD à DB.

Ces deux rapports sont donc égaux. C. Q. F. D. * Ce raisonnement démontre le théorème pour tous les cas où il y a une commune mesure, si petite qu'elle soit, entre les segments AD, DB du môme côté AB; ce théorème est donc vrai en général.

AD AE IZH. Corollaire. —-==-—. En effet, il résulte de notre dé-