LIVRE III

Pour le démontrer^ je mène par le point B une parallèle à ÂD^ i; qui rencontre en Ë le côté CA pro-

longé. Dans le triangle CBE, la ligne AD est parallèle à BE; on a donc

légalité de rapports —-=-—. Cette

égalité serait justement celle qu'il faut démontrer [égalité (i)], si AE était égale à AB, c'est-à-dire si le triangle EAB était isocèle. Ce triangle est en effet isocèle; car les angles AEB, CAD sont égaux comme correspondants; les angles ABE, BAD sont égaux comme alternes internes; or les angles CAD, BAD sont égaux par hypothèse (AD bissectrice); donc Tangle AEB = l'angle ABE; le triangle A BE est isocèle et AE = AB. En remplaçant AE par AB dans l'égalité BD AE BD AB ^ . ,

dg = âg'"""dg = âg'^-^-^-^-

On démontre de la même manière que la bissectrice AI de Fangle BAE extérieur au triangle ABC, rencontre le côté opposé

CB prolongé en un point I, tel que — = — (on mène par le [

oint B une parallèle à AI).

141. Réciproquement : Si un point D divi^ un côté BG d'tin triangle ABC en parties proportionnelles aux côtés adjacents AB, AC, la droite AD est la bissectrice de Vangle A.

En effet, la bissectrice de Tangle A doit rencontrer BC en un point qui divise cette ligne dans un rapport égal à celui de AB à AC, c'est-à-dire précisément comme elle est divisée au point D. Ce point de rencontre n'est donc autre que D (n» 136)^ et la bisseo-» trice n'est autre que AD, C. Q. F. D.