LIVRE lU

Théorème.

146. Det£X triangles éguiangles ont les côtés homologues propor^ (ionnels et sont semblables.

Soient les deux triangles ABC, DEF tels que l'angle A = D,

B = E, C=F; ces deux triangles sont semblables. Pour le démontrer, je prends sur AB une longueur AI = DE, et par le point I je mène IH parallèle à BC. Le triangle AIH est semblable à ABC (144); si je démontre que le triangle DEF est ^ égal au triangle AIH, j'aurai démontré que DEF est semblable à ABC. Or AI=DE par construction ; l'angle A=:D par hypothèse; rangIeI=B = E; les triangles AIH, DEF ont un cdté égal adjacent à deux angles égaux; ils sont donc égaux. DEF est donc comme AIH semblable à ABC.

Rbmarqub. Deux triangles qui ont deux angles égaux chacun à chacun sont éguiangles et semblables.

Deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal sont sem* hlables.

Tliéorcine.

147. Deux triangles ABC, DEF qui ont les côtés proportionnels sont semblables (fig. précédente).

DE DF EF upposonsque — = — = —. (4)

Je prends sur AB une longueur AI = DE, et je mène IH parallèle à BC. Le triangle AIH est S(»mblable à ABC; je vais prouver que DEF=A1H. En effet, ce triangle AIH étant semblable à ABC^ on a