LITRE III

M'est égal à la somme des carrés des deux autres qae dans le cas où le pîus grand angle est droit. (Voir les autres cas.)

RiHABQUS. Un triangle est rectangle quand set côtés sont respectivement proportionnels aux nombres 3, 4, 5.

En elTet, ce triangle est semblable à un triangle dont les côtés auraient des longueurs respectivement égales à 3, 4, 5.

De là un moyen très-simple et souvent employé de construire une éqnerre on de mener une perpendiculaire sur le terrain.

2* Exemple. Les trois côtés d*un triangle sont S", 7", 8".

ou 8« < 7 Vf 5«.

Le plus grand angle de ce triangle est aigu, puisque c'est dans cette hypothèse seulement qu'on peut avoir 8*< 7'+ 5^ a* Exemple. Les côtés d'un triangle sont : 6", 7", 10".

Le plus grand angle de ce triangle est obtus (même démonstration).

Théorème.

ift». Si ron joint le sommet A d'un triangle Â6G au milieu I du côté

opposé BG, on a entre les carrés des nombres qui expriment les côtés et la médiane Al, la relation suivante:

En effet, dans le triangle AIB, l'angle 1 étant aigu« on a

AB*=Ar+DI--2BIxiP. (1){n* I5G).

L'angle I du triangle AIG étant obtus, on a

ÏC*=ÂÏ*+ ÏC*+21GxID.

Ajoutant cea égalités membre à membre, on trouve, en ayant égard à ce qoe Bl = IC,

AB'+ AC*=2Ar+2Br-

^ COUnS DE GÉOMÉTRIE.

EXERCICES

Théorèmes à démontrer.

SI. On construit deux carré<i AIiDR, ACGF, «ur les côté* de l'angle droit A tfw triangle rectangle, pui< on mène les droites BG et CB et la hauteur correap^ondanf à l'hypoténuse. Ces trois droites concourent au même point.

S3. Le carré d'un des côtés égaux d'un triangle isocèle est égal au carré d'oot transversale issue du sommet, plus le produit des segments de la base.

93. La somme des carrés des cétés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des diagonales.

SV. La somme des carrés des côtés d*un quadrilatère quelconque est égale à la somme des carrés des diagonales augmentée de quatre fois le carré de la droite qui joint les milieux 6ws diagonales.

25. Dans un trapèze, la somme des carrés des diagonales est égale à la lorone des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le produit dos côtés non parallèles.

96. La somme des earrés des côtés d'un triangle est triple de la somme des carrés des lignes qui joignent ses sommets au point de concours des médianes.

97. Dans an quadrilatère, la somme des carrés des diagonales est double de la somme des earrés des lignes qui joignent les milieux des côtés opposés.

160. Voici (le nouvelles formules qui ont lieu également entre quatre lignes, mais qui concernent les sécantes et les tangentes d'un cercle.

Th-dorèmc»

1 1 • Sty d'un point pris dans le plan d'un cercle^ on mène des

sécantes^ le produit des distances de ce point aux deux points d 'm-

tersection de chaque sécante avec la circonférence, est constant

quelle que soit la direction de la sécante,

V Le point donné peut être dans le cercle.

Je mène par le point deux sécantes quelconques AB, CD, et

je trace CB, AD. Les triangles COB, AOD, sont semblables; car les angles en opposés par le sommet sont égaux; l'angle A et Tangle C

ont même mesure f-BDj; de même l'angle

B = Tangle D. Donc le côté OB opposé à Tangle C est à OD opposé à l'angle A, dans le même rapport que OC opposé à l'angle B est à OA opposé à l'angle D;

LIYBE III.

~- = — -. En réduisant ces rapports au même dénominateur