OB OC LOD""OA

^ (n* 135), on trouve les numérateurs égaux OBx OA = OC x OD. fU ^ produit des segments de la première sécante est égal au pro- ^ duit des segments de la seconde. On peut comparer ainsi une precP mière sécante AOB successivement à toutes les sécantes qui pas* ^ S€Ut par le point 0. Le produit des segments de chaque sécante est donc le même quelle que soit la direction de la sécante.

— = -=-; d'où l'on déduit (n' 135) ABxAD = ACxAE. Le

2* Le point peut être donné hors du cercle.

Par un point donné A quelconque extérieur au cercle, je mène

les sécantes ADB, AEG et je joins, DC, EB. Les triangles ABE, ADG ont Tangle A commun,

Taugle B = Tangle G (même mesure â ^^)'

ces triangles sont donc semblables. On en conclut que le côté AB opposé à Tangle AEB est à AG opposé à ADG, dans le même rapport que AE opposé à Tangle B est à AD opposé à Tangle G. AB AE

JVC ""AD'

produit de la V* sécante par sa partie extérieure est égal au produit de la â* sécante par sa partie extérieure. En comparant successivement la même sécante ADB à toutes les sécantes qui passent par le point A, on obtiendrait évidemment le même résultat. Le produit d'une sécante issue de A par sa partie extérieure est donc constant quelle que soit la direction de la sécante.

3* L^une des sécantes peut devenu^ tangente.

Si Tune des sécantes ACB restant fixe, l'autre tourne autour du

point A, jusqu'à devenir tangente en D à la circonférence, les deux points de rencontre finissent par se confondre en D, et les deux distances de A à la circonférence, comptées sur la même sécante, se confondent en une seule AD. Le pro« duit étant le même, on a encore, à la limite,

ABxAG = ADxAD ou ABxAG= AD*. De là cette proposition ;

102 coins DE GÉOMÉTRIE.

Théorème.

1G2. Si Von mène par le même point A une tangente et divenei iicanteiy le carré de la tangente est égal au produit d*une sécante quelconque par sa partie extérieure.

Autrement dit : La tangente est moyenne proportionnelle entre une sécante quelconque et sa partie extérieure (134 bis).

Ce théorème peut d'ailleurs se démontrer directement :

Menons DB^ DC. Les triangles DAC, DBA sont semblables; car l'angle A est commun, Pangle ADC et l'angle ABD ont la môme mesure. En comparant les côtés homologues, on vérifie aisément