CHAPITRE IX. — CINÉMATIQUE DU PLAN
( )n a (railleurs, sans ambiguïté de signes, ds = pd§. On a
t/'P . . si n t.) (ls . ,
r// p rfi
d'où, pour la courbure 77 de la roulette,
il sinio [ 1
K = p + JW R[ ~ /"'
Cette formule peut encore être mise sous la forme
sinw 1 1 siiMD
R — ? Ri r, p
et ne diffère que par les notations de celle que nous avons obtenue (§ 21 ) par des considérations géométriques.
20 Roulettes tangenlielles. ■ — 11 est facile de retrouver par l'analyse les propriétés de la roulette enveloppée par une courbe invariable T, de nature quelconque, entraînée dans le mouvement du plan mobile ( voir § 21). Nous nous contenterons de traiter le cas où la courbe est une droite ayant pour équation dans le plan
mobile
ce sin œ — y cosci = p,
■^, p sont des constantes. L'équation de cette même droite, rapportée aux axes fixes, est, d'après les formules générales (24)
X sin ( 6 -t- çp ) — Y cbs ( 8 -+- œ ) = p -+■ a sin ( 8 -+- o ) — b cos ( 8 -+- cp )
ou
\ mii4> — Y cos<l> = p -+- a sin* — b cos 4» = F( <l>).
en posant
<l> = 6 -+- cp.
Appliquons la tbéorie des enveloppes des droites, en remarquant
que, d'après cette dernière relation, t est une fonction de <t> telle
qu'on ait
dt 1
nous aurons alors
pi <I> ) = — 1 a' s i n «t» — b' cos* ) + a cos<I> + b sin*,
ce qui se réduit, en particularisant les axes, à F'(<I>) — o. Diflerentions alors F'(4>) en négligeant les termes qui doivent disparaître en vertu des formules de réduction; nous aurons en définitive, pour les \aleurs réduites de F, F', F",
b" cos *
F(4>) = /7, F'(*) = o, F"(<t\) =— ^cos* = -^ —
L'équation réduite de la normale à l'enveloppe est donc
(28) X cos4> -+- Y sin«ï» = o,
et les coordonnées du centre de courbure sont
, sin*cos4» . oos<t>
Enfin le rayon de courbure R a pour valeur réduite
Ge-tle dernière formule ne diffère pas de celle que nous avons obtenue au paragraphe 21 ; on déduit en outre, des formules ( 29) et (3o), les deux théorèmes suivants :
Théorème. — Le point de contact d'une droite quelconque liée au plan mobile, avec son enveloppe, coïncide avec la projection, sur cette droite, du centre instantané de rotation.
Théorème. — Les centres de courbure des enveloppes de toutes les droites entraînées dans le mouvement du plan mobile sont situés sur un même cercle symétrique du cercle des inflexions par rapport au centre instantané.
L'élimination de L'angle <ï> entre les équations (29) donne en
effet
(■'est l'équation du cercle des centres.
Il est évident que ce cercle est, en même temps, le lieu des points de rebroussement des courbes enveloppées par les droites
