AB' — BA

d<ï = — r^ rt- dt , ds = i/A * -H B2 ûfc.

Calculons les dérivées A' et B' et passons en même temps aux formules réduites; nous trouvons ainsi :

B = 6'ar, B'= &"-t-6"a? — 0'2J (é» = — 8'),

AB'— BA'= 0'2:K + e,3(^2+JK,-),

A2-f- B* = 6'*(arï+ r2).

L'équation AB' — BA' — o appartient aux points qui sont actuellement des points d'intlexions de leurs trajectoires ; le lieu de ces points est un cercle ayant pour équation

et l'on retrouve le théorème de La Hire démontré géométriquement au paragraphe 21 :

Théorème. — Les points du plan mobile qui sont à un nioment donné points d'inflexion de leur trajectoire sont répartis sur un cercle appelé cercle des inflexions et qui touche la courbe roulante au centre instantané.

Remarque. — Il est évident, d'après ce qui précède, qu'une roulette ponctuelle est concave ou convexe vers le rentre instantané, suivant que le point décrivant est extérieur on intérieur au cercle des inflexions (La Hire, Mémoires de l'Académie des Sciences, ino5). Il y a lieu [de s'étonner que le théorème de La Hire, d'où se déduit la solution de n'importe quelle question relative à la courbure des roulettes, soit demeuré inaperçu pendant un siècle et demi [cf. Williamson, Differential Caleulus.

11 convient d'introduire ici le rayon ( )M qui va du centre instantané au point décrivant M (fig- 76), et l'angle o> que l'ail ce vecteur avec la tangente o.r de la courbe roulante. Les formules précédentes deviennent alors

AB'- BA'= e'8p(sinw 4- p6'), A2-+- B2 = p*8'*.