H = /A2+B2+ G2, H/=A, H|3"=B, HY"=G

Dillérentiant ces trois formules et faisant la somme des carrés, on a comme précédemment

H2 dz2 = dk2 -{- rfB2-4- dC2 - dtt2.

Multiplions par H2 et remplaçons H dR par A dk. -f- B rfB -+- G rfC, ce qui donne

H*rfx* = (B dC - C dB y2 + (C dk — k dG)2-h ( k dB — B dk)2,

et calculons le premier binôme qui figure au second membre ; nous obtenons ainsi

B dC — C dB = (dz d2x — dx d2z ) ( dx d3y — dy d3x),

expression symétrique enjv et z, d'où

B dC — C dB = dx2 ( d2y d3 z — d2z d3 y )

■+- dx dy (d2 z d3x — d3 z d2 x) -+- dx dz(d2 se d3y — d2y d3x) ;

les termes indépendants de dx s'annulant d eux-mêmes on peut

alors écrire

B dC — G dB = G dx,

l82. DEUXIÈME PARTIE* — COURUES PLANES OU GAUCHES.

en désignant par (i le déterminant

dx dy dz d- x d-y d- z d3x dsy d3 z

On aurait de même

C dA — A dC = G dy, A dB — B d\ = G d:

Portons ces valeurs dans l'équation qui donne ch1 divisons par H(î ds2, et extrayons la racine. Nous aurons enfin

car, ainsi que nous le verrons plus loin, G est toujours négatif si, conformément à nos conventions, les deux trièdres OXYZ, MTNB ont la même orientation.

Nous verrons d'ailleurs dans le Chapitre suivant (§ 49) comment la courbe est disposée relativement à son plan oscillateur suivant que la torsion est positive ou négative (*). Nous conserverons la

notation — pour représenter la valeur absolue de la torsion.

(') Pour ce qui concerne le signe de la torsion, revoir les paragraphes 26 à 29 de la première Partie.