DES NORMALES PRINCIPALES, SURFACE DES BINORMALES

49. Développement des coordonnées en séries ordonnées suivant les puissances entières de l'arc. — Supposons les coordonnées oc, y, Z d'un point mobile sur une courbe (G) exprimées en fonction de l'arc s, compté à partir d'un point fixe de coordonnées x0,y0,z0, la formule de Taylor, appliquée à la coordonnée x1 nous donne

s / dx \ s- I d1 x \

i \ds /o ' 1.2 \ dsl /u

Les formules de Serret permettent de n'introduire dans les coefficients que les éléments géométriques de la courbe au point

dx origine M0. De la formule —j- = a, qui détermine le premier de

ces coefficients, on déduit en eflet de proche en proche :

diX drJ. a' d3X , R a a"

rf^ = ^ = R ' ~dlï = * ~d~7 ~~ W* ~ RT ~ " " *

iSj DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.

On a donc

i 2 K0 •> \ ds K- Kl

et deux formules analogues fourniraient le développement de y et de-.

Nous pouvons, d'après nos conventions relatives aux directions de la normale principale et de la hinormale, prendre pour origine le point M„ et pour axes les trois directions de la tangente, de la normale principale et de la binormale ; dans ces conditions, on doit faire .vt) = y0= z0 = o et les trois cosinus a0, j^, y0 deviennent égaux à -+-I, les six autres s'annulant. Les trois formules précédentes deviennent alors

•>R (i ds