CHAPITRE II. — THEORIE DO CONTACT. COl'RBES ENVELOPPES
petit d'une fonction, que nous supposons régulière ('), d'un certain paramètre t. Lorsque ce nombre entier est égal à /i, on dit que la courbe et sa tangente ont, au point A, un contact d'ordre n; tout point pour lequel on a n > i est dit point d'inflexion.
Si le contact est d'ordre «, la distance Ml* est un infiniment petit d'ordre n-\-i et Ion a, en prenant AP(qui est toujours du premier ordre) comme infini ment petit principal,
(i) MP~XÂPB+1,
\ étant une fonction de AI* qui ne s'annule pas pour AP = o. Désignons alors, comme plus haut, par R la courbure de l'arc AM et par A l'angle MAP ; nous aurons
MP „ rf.MP
tangA=XF, tangK = ^:XF;
d'où, en ne considérant que les parties principales,
(■i) A~ÀÂ7p", K ~(w -hi)XÂp",
Le triangle infiniment petit AKM (fig. 3) ne peut donc plus être considéré comme isoscèle, l'angle M étant équivalent à n fois l'angle A.
En raisonnant comme pour le cas de n — i, on voit que MP change de signe en même temps que AP, ou conserve un signe constant, suivant que n est pair ou impair. Dans le premier cas, la courbe est traversée au point A par la tangente, la concavité est de sens opposés pour les arcs AM, AM'. Si n est impair, M, M' sont d'un même côté de la tangente et les deux arcs AM, AM' tournent leur concavité dans le même sens.
La courbure au point A est toujours la limite vers laquelle tend
le rapport —^ lorsque M se rapproche indéfiniment de A ; or,
AM et AP étant équivalents, il résulte de la formule (2) que la
courbure en A a pour partie principale (n -h i)aAP ; elle est
donc nulle ainsi que ses ( n — 2) premières dérivées par rapport à
l'arc, et la ( n — ,)><■>»<■ ne pesi pas ; de là le théorème suivant :
(l 1 Pour le cas où A serait un point singulier, voir la note à la fin du Chapitre.
lO> PREMIÈRE PARTIR. — GEOMETRIE INFINITÉSIMALE.
Théokème. — Lorsqu'une courbe plane et sa tangente ont, en. un point donné, un contact de V ordre n ^> i, la courbure est nulle en ce point, ainsi que ses dérivées successives par rapport à l'arc jusqu'à la (n — \yème exclusivement.
Soienl maintenant {fig- 8) deux courbes (G), (C|) se coupant en
Fi g. 8
un point A ; prenons sur C et C| deux arcs infiniment petits correspondants, de même longueur, AM, AM, ; nous pouvons définir le contact d'ordre n entre ces deux courbes par la condition que
l'angle M A M, formé par les deux cordes soit un infiniment petit de l'ordre n ; pour que cet ordre soit au moins égal à un, il faut d'abord que les deux courbes se touchent au point A ; chacun des arcs AM, VM| étant équivalent à sa projection sur la tangente commune, on peut considérer MM| comme se projetant en un même point P de cette tangente.
On a alors
MP
