CHAPITRE XXIII. — SURFACE RAPPORTÉE A s-KS LIGNES DE COURHURE. 3o

Remarque. — Si l'on prend pour axes la normale et les tangentes principales au point M, et qu'on applique les formules générales de réduction (p. 239), l'équation (18) se réduit à

- -r— ) sin 9 coso sin 0 = o.

V Ko Ki/

( >n en conclut que, réciproquement, toute ligne tracée sur la. sur/ace et vérifiant V équation (19) est une géodésique ou une ligne de courbure.

Application aux surfaces du second ordre. — Considérons, par exemple, l'ellipsoïde

X1 yï -2

— + TT + — ='■ a- U1 c-

On a ici

/(- b1 ■ c- a* b* c* rl

P étant la distance du centre au plan tangent en M, puis

dxï dv- dz-

d\ dx -4- d B dy -t- dC dz = H ; — -+- >

„ dxd2x dyd2y dzd2z

c/\ d-x -+- dB d2 y -+- «C d- z = 1 —. — : 1- ■

L'équation (19) s'intègre donc une première fois et donne

h -. 1- — - — = const.

Or, la parentbèse est égale à ^>D étant le demi-diamètre de

l'ellipsoïde parallèle au déplacement MM' et l'intégrale obtenue peut se mettre sous la forme

PD = const.,

relation d'où l'on peut déduire très simplement, ainsi que nous le verrons, toutes les propriétés communes aux lignes géodésiques et aux lignes de courbure d'une surface du second ordre.

3g6 quatrième partie. — COORDONNÉES curvilignes sur une surface.