CHAPITRE XXIII. — SURFACE RAPPORTÉE A SES LIGNES DE COURBURE. 3<j'i

courbures principales soient en chaque point égales et de signes contraires.

Remarque. — Cette condition, qui est nécessaire, n'est pas suffisante; il peut se faire, comme cela a lieu dans les questions qui dépendent du calcul des variations, qu'une surface particulière, à courbure moyenne nulle, ne satisfasse pas, quelle que soit le contour (C), à la condition de minimum.

Par extension, on appelle surface minima toute surface dont les rayons de courbure principaux sont, en chaque point, égaux et de signes contraires.

110. Équation du second ordre commune aux lignes géodésiques et aux lignes de courbure. — On peut former une équation différentielle du second ordre qui soit vérifiée, pour une surface quelconque, à la fois par les lignes géodésiques et par les lignes de courbure ( Joachimsthal) . Considérons, en effet, sur une courbe quelconque, deux points infiniment voisins M, M'; soient MN, M'N' les normales à la surface, MP la normale principale de la courbe au point M ; la différence des cosinus des deux angles que fait MP avec MN et avec M'N' est en général un infiniment petit du premier ordre; or, que la ligne MM' soit une ligne géodésique ou une ligne de courbure, cet ordre s'élève d'une unité en sorte que l'on a

cosNP — cosN' P = o,

en négligeant les infiniment petits du second ordre ( ' ).

Le fait est évident pour les lignes géodésiques, l'un des angles étant rigoureusement nul et l'autre infiniment petit ; si maintenant on suppose que MM' soit une ligne de courbure, les normales MN, M'N' peuvent être considérées comme situées dans un même plan perpendiculaire à MPN ; les directions MP, MN, M'N' sont donc représentées sphériquement par les sommets/?, /*, n' d'un triangle

sphérique dont l'angle n diffère infiniment peu d'un angle droit.

(l) Cette démonstration est due à O. Bonnet, Mémoire sur ta théorie générale des surfaces (Journal de V École Polytechnique^ XXX" Cahier, Note II).

On a donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre

cospn' = cos np cos nn',

cospn' = cosnp(i — 2 sin2 /m') ~ cospn. c. q. f. d.

Pour obtenir l'équation cherchée, il suffira d'évaluer cette différence de cosinus et d'annuler sa partie du premier ordre.

Soient alors A, B, C, les coefficients de direction de la nor-

Fig. 107.

maie, H- la somme de leurs carrés, nous avons, en conservant nos notations habituelles,

cosNP = a'rr

L'équation différentielle cherchée est donc A „. .B . . C

*>d +pd-+T>d.u

Cette équation devient, en remplaçant a', ,3', y' par les quantités proportionnelles

ds d- x — dx d- s, ds d1y — dy d1 s, ds d1 z — dz d- s, développant et remarquant que A dx -+- B dy -\-Cdz = o,

II ds(d\ d'-x-h dB d*y + dÙtPs) — d\\ ds(\ rf'r + B d*-y -+- G diz)

— II d*s ( dk dx -+-dBdy-+- dC dz) = o.

Les deux dernières parenthèses étant égales et de signes contraires, cette équation peut s'écrire

dA d*x -+- dB d* v -+- dC d2 z A dk -+- B rfB -+- G </C tf*s

rfA dx -+- dB dy -+- dC d: