CHAPITRE II. — THÉORIE DO CONTACT. COURBES ENVELOPPES

Théorème. — Lorsque deux courbes planes ont , en un point \, un contact d'ordre //, la courbure en ce point et les dérivées successives de la courbure par rapport à l'arc, jusqu'à Vordre (n — 3) inclusivement ont des valeurs égales sur les deux courbes.

II. Courbes osculatrices. - Considérons, en même temps qu'une courbe donnée C, une courbe CM d'espèce donnée el dont l'équation dépende de k paramètres variables. On pourra disposer de ces paramètres de manière à faire passer cette courbe C| par un point A de (G), et à lui imposer en ce point un contact d'ordre n avec la courbe G, pourvu que n soit au plus égal à (k — 1). Si l'on prend n = k — i, la courbe (C,) ainsi déterminée est, parmi les courbes de son espèce, celle qui a le contact de l'ordre le plus élevé possible avec (C) ; on dit alors qu'elle est osculatrice à (C). Si quelques-unes des conditions de contact se trouvaient vérifiées d'elles-mêmes, ce qui ne pourrait arriver que pour des positions particulières du point A, on pourrait établir en ce point un contact d'ordre supérieur à /. — i et il y aurait alors surosculation.

Une droite est déterminée par deux points. On a alors k — i = i ; la droite osculatrice n'est autre chose que la tangente; il y a oscillation simple ^n un point ordinaire, sut oscillation , en un point d'inflexion d'ordre quelconque.

Si la courbe (G,) est un cercle, k = 3; il y a donc oscillation lorsque le contact est du second ordre; le cercle (G,) coïncide alors avec le cercle de courbure; nous avons donné, par anticipation, au cercle de courbure, le nom de cercle oscillateur, qui se trouve maintenant justifié ; en de certains points particuliers, appelés sommets, il peut y avoir surosculation; la dérivée première de la courbure par rapport à l'arc doit alors s'annuler ; l'exemple le plus simple de sommets est fourni par les points oùune conique coupe ses axes de symétrie.

Une conique étant déterminée par cinq conditions, la conique osculatrice, en un point ordinaire, aura avec la courbe un contact du quatrième ordre; cet ordre pourra s'élever d'une ou de plusieurs unités pour certains points remarquables, tels que les points Steiner d'une cubique plane.

2t> PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFIN1TÉS1MALK.

La théorie du contaci. d'ordre n peui être présentée à un autre point de vue, plus immédiatement projectif.

Désignons par F(t) la distance MM, {fig. 8), de deux points correspondants, estimée suivant une direction fixe ou variable ; nous supposons toutefois que cetle direction ne soit pas, à la limite, parallèle à la tangente ÂP. Dire que les deux courbes ont, en A, un contact d'ordre /?, c'est dire que F (t) est un infiniment petit d'ordre n -j- i ; c'est dire, par conséquent, que pour la valeur t que prend le paramètre au point A, la fonction F(t) et ses n premières dérivées sont nulles.

Ceci posé, imaginons que lune ou l'autre des deux lignes, ou toutes deux, soient variables et disposons des paramètres dont elles dépendent, de telle sorle qu'elles aient en commun, outre le point A, n autres points M,, M2, • . . , M„, c'est-à-dire qu'on ait

F(*o) = o, F(*,) = o, ..., F(tn) = o.

Si l'on exprime que ces conditions sont constamment vérifiées lorsque les points variables M,, M2, . . . , M„ se rapprochent indéfiniment de A, on a, à la limite,

ce sont précisément les conditions d'un contact d'ordre n. On est ainsi conduit au théorème suivant :

Théorème. — Deux courbes qui ont, en un point donné, un contact d'ordre n sont les limites de deux courbes variables qui se coupent en ce point et en n autres infiniment voisins.

Remarque. — On déduit immédiatement de ce théorème que les deux courbes se traversent au point A, ou se touchent intérieurement, suivant que n est pair ou impair; il en résulte aussi évidemment que l'ordre de contact est une propriété projective.

12. Propriétés d'un arc infiniment petit. — Nous pouvons maintenant compléter ce que nous avons dit des propriétés d'une ligne plane dans le voisinage d'un point donné \. Soient {fig> 9) Al? un arc infinimentpet.it de longueur s et de courbure t, K le point de concours des tangentes aux extrémités de cet arc ; CD la tangente en un point M mobile sur l'are AB ; lorsque l'arc AM varie de o à s, sa courbure varie de o à t, il existe sur VB un certain