CHAPITRE III. — COURBES PLANES PARTICULIÈRES

le segment ml. compris cuir»- mi point quelconque /// de cette courbe et le point t où la tangente en m rencontre une droite fixe OX, ail une longueur constante a . I .a forme de la tractrice est évidente; si l'on appelle a l'angle X.tm, la distance />//>, de /// à OX, a pour valeur a sina; elle décroît donc constamment de la valeur a à la valeur zéro quand a croît de - à -; le point A où la tangente est perpendiculaire à OX est donc le plus éloigné de celte droite; mp ne peut d'ailleurs devenir nul si le point /// est à distance finie, puisque le segment mt devrait alors s'annuler ; donc, y. variant de - à -, ()p croit de zéro à l'infini, tandis que mp décroît de a à zéro; on a donc une branche de courbe (T) asymptote à OX, constamment convexe vers OX ; la tractrice se compose de cette branche et de sa symétrique par rapport à la droite AO.

i° Courbure de la tractrice. — Ceci posé, soient mk, m'A' les normales en deux points infiniment voisins ; les deux triangles fK/», t'Km' ont les côtés mt, m' t' égaux par définition; les côtés ELm, Km' sont équivalents comme ayant pour limite commune le rayon de courbure au point m ; les hypoténuses Kt, K^' sont donc équivalentes, et le point K se projette sur OX entre les points t, l' ; donc : le centre de courbure M se projette sur OX au point t . extrémité de la tangente mt.

On en conclut que le rayon de courbure de la tractrice est égal à Mm où — ■ a cota et l'on a, par conséquent,

d .air A ///

(i) -. = — «cota.

' ai

Les autres propriétés de la courbe s'en déduisent immédiatement.

2" Rectification et quadrature de la tractrice. — En appliquant à mt la formule qui donne la variation infiniment petite d'un segment rectiligne on a

né t' — mt = o ~ arc mm' '-+- //' cosa,

d'où, en tenant compte de (i),

d.Ot «

(2) "'-TT^*'-^ d%

snia

D'au Ire part, l'équation (i) s'intègre immédiatement et donne ( ! i are A m = — a L si n a ;

c'est la formule de rectification de la tractrice.

Si nous considérons maintenant le quadrilatère curviligne AO^m, la différentielle de son aire S est évidemment équivalente à l'aire du triangle htt1 et l'on a

(4) dS = — dx, S = -

C'est la formule de quadrature. En faisant a = — et doublant, on voit que l'aire totale comprise entre la tractrice et sa base OX a

pour valeur

3" Equations de la tractrice et de sa développée. — Le segment infiniment petit tt' est la différentielle du segment 0/ ; l'équation (2) peut donc s'écrire, en remarquant que Op s'annule

pour a = ->

( 5 ) 0/> = a L tang — f- a cosa .

( )n a d'ailleurs

( (') ) m/> = a sin y..

Les équations (5) et (6) sont celles de la tractrice ; on en déduit immédiatement les coordonnées du centre de courbure eu M ; on a en effet, d'une part,

AI t = -^— = -:

--^\ si 11 a cos mt INI

et. d'autre part (loc. cit.),

(7) O t = y. Log tang "•

Ce sont les équations de la développée. Cette seconde courbe est la chaînette; en éliminant a entre les équations (7), on obtient, sans difficulté, pour l'équation de cette courbe remarquable,