CHAPITRE III. — COURBES PLANES PARTICULIÈRES. 3(J

La chaînette . Les propriétés de la chaînette sont mises

en évidence par celles de la tractrice ; il n'y a plus qu'à les énoncer :

i" Lorsque a croît de - à -, ( )/ croît de zéro à l'infini, Ml de a à

l'infini, la courbe tourne constamment sa convexité vers OX ; elle a la forme représentée en (C) sur la figure i \.

2° Pour construire la normale en un point M de la chaînette;, il suffit de décrire, de ce point comme centre, un cercle de rayon a et de mener à ce cercle, du point /, la tangente qui fait un angle aigu avec ()\; le point de contact II appartient à la normale cherchée.

3" L'aire S du quadrilatère curviligne AOM^, a évidemment pour différentielle le produit Mtxtt'; on a donc [formules (2) et (7)]

( (> ) dS = — — — d%, S= — a2 cota,

J/ sin2a '

et comme Mm = — a cota, on voit que ce quadrilatère curviligne est équivalent au rectangle MHtm,

1" La dernière remarque montre que l'arc AM, d'après les propriétés générales des développées, a pour valeur — a cota; on a donc, pour le rayon de courbure en M,

arc A M a

(10) K = cl -

Or, dans le triangle M7N, on a

Le rayon de courbure de la chaînette est égal à la normale limitée à la droite OX et dirigée en sens contraire.

On déduit immédiatement de ce théorème la construction par points de la développée de la chaînette. Celte courbe est représentée en (IJ) sur la figure; les coordonnées du centre de courbure, exprimées en fonction de l'angle a, sont

■in . /, a eus a \

y i = -: — , x, = O l — t N = a ( L la 11 g -! : — — •

Sinot \ 5 2 sin-7./