COURBES GAUCHES. — COURBURE ET TORSION

Propriétés des courbes sphériques. — Courbure des courbes gauches; normale principale; plan rectifiant. — Torsion ; PLAN OSCULATEUR ET BINORMALE. CERCLE OSCULATEUR.

— Sphère osculatrice. — Application a l'hélice. — Contact DES COURBES GAUCHES.

23. Courbes sphériques. — De nombreuses propriétés des figures planes s'étendent immédiatement aux figures tracées sur la sphère et interviennent ensuite utilement dans l'étude des courbes gauches en général ; il convient donc, avant d'aborder la théorie des courbes gauches, de faire une étude préliminaire des lignes sphériques.

Le grand cercle joue, sur la sphère, le même rôle que la droite dans le plan ; toute courbe sphérique admet, en chacun de ses points, un grand cercle tangent et un grand cercle normal, définis delà même manière que la tangente et la normale en un point d'une courbe plane. Le grand cercle tangent en un point M partage la sphère en deux hémisphères dont l'un seulement contient les points de la courbe situés dans le voisinage de M ; nous supposerons toujours le grand cercle normal en un point dirigé, à partir de ce point, dans la région de la concavité.

En raisonnant comme nous lavons fait pour les courbes planes (§22), on voit que toute courbe sphérique peut être considérée comme lieu des intersections successives d'une famille de grands cercles dépendant d'un paramètre ; plus généralement, la théorie des courbes enveloppes s'étend aux figures sphériques, sans qu'il y ait rien h changer dans les démonstrations.

Le théorème relatif à la variation d'un segment rectiligne s'étend, sans difficulté, à un arc de grand cercle mobile sur la sphère