A'B'- AB = BB' — A A

La variation de longueur d'un arc de grand cercle est doncéqui-

Fig. 38.

valent à la différence des déplacements de ses extrémités, projetés sur la direction du segment [voir § 11).

On déduit de cette propriété, comme en Géométrie plane, les conséquences suivantes :

i° Si un arc de grand cercle se déplace en restant normal aux trajectoires de ses extrémités, sa longueur reste constante ;

2° Si un arc de grand cercle, de longueur constante, reste normal à la trajectoire d'une de ses extrémités, il demeure également normal à la trajectoire de Vautre ;

3° Toute courbe sphérique dont le grand cercle normal passe par un point fixe est un cercle ayant ce point pour pôle.

L'analogie entre les figures planes et les figures sphériques est complète en ce qui concerne la théorie des développées. Appelons développée sphérique d'une courbe (G) l'enveloppe des grands cercles normaux à cette courbe; soient A, B deux points quelconques de (G), A, , B, les points correspondants de la développée (C(),

(') Nous verrons plus tard que cette même propriété appartient à un segment de ligne géodésique variable sur une surface donnée.

lare A-, B, de la développée est égal à la différence des deux arcs BB, , AA , , d'où résulte, comme pour les courbes planes, un pro-

cédé mécanique de description d'une courbe spliérique quelconque, à l'aide d'un fil tendu sur sa développée.

Courbure sphérique. — L'angle P, formé par les grands cercles tangents aux extrémités d'un arc MM', s'appelle la courbure sphé-

rique de l'arc MM'; on lui donne aussi, quand MM' est infiniment petit, le nom d'angle de contingence sphérique. La courbure sphérique en un point est la limite de la courbure sphérique

moyenne mW* l°rstlue MM' tend vers O. Ceci posé, les arcs

de grands cercles normaux en M, M' se coupent en deux points diamétralement opposés; soit K celui de ces deux points situé dans la région de la concavité au point M. Décrivons, du point K