CHAPITRE V. — COURBES GAUCHES. COURBURE ET TORSION

connue pôle, l'arc de cercle Mil, et considérons le triangle curviligne MHK. L'aire de ce triangle est égale au produit de l'angle K par la hauteur de la zone dont il fait partie, c'est-à-dire par (1 — cos MK), si nous prenons pour unités le rayon de la sphère, l'angle droit, et Taire du triangle s|>liérique trireclangle ; ce triangle est d'ailleurs équivalent, au point de vue infinitésimal, au quadrilatère sphérique KJPMM7, dont l'aire est mesurée par l'excès sphérique K — P; on a donc l'équivalence

(1) P~kcosMK.

D'autre part, l'arc MM' est équivalent, au même point de vue, à l'arc MH qui mesure l'angle au centre K dans un cercle dont le rayon est évidemment sinMR ; on a donc

(2) arc MM' ~ K.sinMK.

Lorsque M' se rapproche indéfiniment du point M, le point K tend vers le point correspondant M, de la développée sphérique ; si nous appelons p l'arc de grand cercle MM,, C„ la courbure sphérique au point M, nous aurons, en divisant membre à membre les équivalences (i) et (2), passant à la limite et introduisant le rayon R de la sphère,

r colP

Si la courbe (C) se réduit à un cercle, le point k est fixe et coïncide avec le pôle de ce cercle; la courbure sphérique est donc constante ; réciproquement, le cercle est la seule courbe dont la courbure sphérique soit constante ; car pour tout arc MM' d'une telle courbe on a MM, — M'M', =0 et la développée sphérique se réduit à un point. Le grand cercle normal passe donc par un point fixe de la sphère et la courbe est un cercle ayant ce point pour pôle.

Cercle de courbure. — Décrivons du point M, comme pôle un petit cercle de rayon sphérique M, M; ce cercle touche la courbe au point M ; il a, en tous ses points, même courbure sphérique que la courbe au point M ; on lui donne le nom de cercle de courbure; l'arc MM, est le rayon de courbure sphérique, le point M, le pôle de courbure.

*2i. Courbure des courbes gauches. — Considérons maintenant {fig-Al)i une courbe gauche (C) quelconque ; un point quelconque M de cette courbe est défini quand on se donne, en grandeur et en signe, son abscisse curviligne AM comptée à partir d'une origine fixe A, dans un sens convenu. Pour étudier les changements

Vr.

Fig. 42.

de direction de la tangente MT, menons, par le centre O d'une

sphère de rayon un {fig. 42)j conformément à ce que nous avons dit

au paragraphe 3, unedemi-droile parallèle à MT ; l'extrémité m du

rayon om, décrit sur la sphère, lorsque M varie, une courbe (C)

qui est l'indicatrice sphérique des tangentes ; nous conviendrons

de prendre, pour sens du mouvement positif sur cette indicatrice,

celui dans lequel se déplace le point //?, lorsque M parcourt la

courbe donnée dans le sens positif; dans ces conditions, deux

arcs correspondants sur les deux courbes seront toujours de même

signe.

On appelle courbure totale d'un arc MM', I arc mm! qui Lui

, 1 ) • 1 • . • / 1 aie mm'

correspond sur l indicatrice, courbure moyenne le rapport tttt;

1 ' ' arc MM'

de la courbure totale à la longueur de l'arc, courbure en un point M la limite de ce rapport quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M ; d'après la convention précédente, la courbure moyenne et la courbure en un point ne peuvent être négatives.

Lorsque l'arc MM' est infiniment petit, la courbure de l'arc MM' est équivalente à Yangle de contingence, c'est-à-dire à l'angle formé par les tangentes aux deux extrémités de l'arc (§ 3).