CHAPITRE Vin. — COURBES PLANES EN GÉNÉRAL. I.Î

(jue la formule (i5) donne, pour l'expression de l'arc .?, .s- = //( a ) — p'{ a0) H- / /Mai <Yx.

Cette formule, dans laquelle se trouve mis en évidence le segment recti ligne yt?'(a) qui mesure la distance de l'origine à la normale menée à l'extrémité de l'arc .s, est susceptible de nombreuses applications : c'est la formule de rectification de Legendre.

40. Coordonnées polaires. — Les formules relatives aux coordonnées polaires, établies géométriquement au paragraphe 3, se déduisent de celles que nous venons de trouver pour les coordonnées rectangulaires; en partant des formules de transformation

x = p cos tu, y = p si n tu, on en déduit en ellet

dx = dû cbso) — o si n to dto = ds cosa, dy = dp s in to -+- p cos co doi = ds sin a,

a étant l'angle de la tangente avec l'axe polaire Ox. Ajoutons ces deux équations multipliées par cos to, sin to, il vient

do = ds cos( a — to ) ;

on a de même

p doi = ds si n ( a — tu l .

en ajoutant après avoir multiplié par — • sin to, cos to. Or (a — tu) est égal {fi g- 69) à l'angle V fait par la tangente et le prolongement du rayon vecteur ; on retrouve donc les formules connues

i 1 8 ) dp = ds cos V, p dix) = ds sin V, ds* = dp- -!- p2 <:/to2.

Si l'on forme la combinaison xdy — ydx on obtient immédiatement la formule de quadrature

(19) dS = - g5 rfw,

S étant l'aire du secteur AOM compté à partir du rayon polaire fixe OA. On déduit des formules ( 18), ainsi que nous l'avons vu au paragraphe 17, les expressions suivantes de la tangente, de la nor-

maie, de la sous-tangente et de la sous-normale polaires, définies à

laide de l'axe O^ de direction o> H — >

;os V

dp

di»

M N = N = -J-T7 -r- ; si n V cto>

-> — do

OT = S, = — otangV = — ps-r- , ON = S„ = pcotV = -/-•

ap ' dto

Courbure. — On pourrait transformer de même l'expression (8)

Fig. 69.

de la courbure en coordonnées cartésiennes mais il esl préférable de partir des relations

1 dx z (/<.»

— = — , . a. — a) = arc tang — — R ds do

d'où

d% = dta

p dp d'1 o> -+- dp9 diM — p dta d'1 p t/02 H- 0- ^/to2

et par suite

p rfp rf* (o h- p'2 rfo»:i -f- 2 rfp2 rfio — p dio d-p do- h- p'2 rfo»'

1 p </p rf* h) -H p3 t/w3 -+- 2 r/p2 <Yw — p rfm d* p

ÏÏ =

1 <7p2-f- p"-dM- 12 Si l'on prend pour variable l'angle 10 ei que l'on considère p