CHAPITRE VIII. — COURBES PLANES KN GÉNÉRAL. l

et pour l'expression du rayon de courbure (i5) R= gr =y(*)-i- />"<*)•

Ce mode de représentation analytique, qui consiste à définir une courbe plane par une propriété commune à toutes ses tangentes, se prête avec une grande facilité à l'étude de certaines questions qui conduiraient à des calculs compliqués en coordonnées ponctuelles. Observons en ellet que les coordonnées du point M, et les segments N, T, SN, Sr, s'expriment ici par les formules

j r = p sina -t- p' cosa, y = — p cosa -+- p' sina,

\ rr. Y pc. cos2 a

11= ; — = «cola — p , ^i = — v cot a = p — : — p cos a,

( io) ■ sin a sina

y , , , ?in2 *

N = — = p — p tau » a, S„ = — y tanga = — p sina

cos a

qui sont linéaires par rapport à p el p'. R est de même linéaire par rapport à p et kp". Si donc la courbe est définie par une relation linéaire entre quelques-unes des sept quantités x, r, T, N, S,, S„, R, sa détermination dépendra d'une équation linéaire du second ordre.

Si, comme il arrive souvent, on connaît a priori une courbe qui réponde à la question, l'équation du second ordre pourra être ramenée à une équation linéaire du premier ordre intégralité par deux quadratures.

Proposons-nous, par exemple, le problème suivant :

Trouver une courbe plane telle que le rayon de courbure soit une fonction donnée de I angle que la tangente fait avec une direction fixe.

L'équation à intégrer sera, en prenant pour axe des x une parallèle à la direction donnée,

Si l'on connaît une solution particulière p=ft (a), la solution générale sera donnée par l'équation

p — fi(oc) ■+■ a sina — b cosa,

î4<i DEUXIÈME PARTIE. ~ CÔVRBRS PLANES OU GAUCHES.

a et b étant des constantes arbitraires. On pourra d'ailleurs tou->jours trouver une solution particulière de l'équation (17) puisque l'on connaît l'intégrale de l'équation sans second membre. On remarquera d'ailleurs que la courbe trouvée, la plus générale, est l'enveloppe des droites

(x — a) si n a -+- (y — b ) cos a = 'fx (a).

Elle se déduit donc de la courbe particulière p=ff (a), à la,quelle on aurait fait subir une translation égale et parallèle au vecteur mené de l'origine au point de coordonnées (a, b). -

Équation intrinsèque d'une courbe plane. — On appelle équation intrinsèque d une courbe plane une relation constante à laquelle douent satisfaire l'arc indéfini A.M = s et le rayon de courbure R à l'extrémité M de cet arc. On peut de ce qui précède déduire le théorème suivant :

Théorème; — Toute équation de la forme, •'R=f(s) définit une courbe plane et une seule à laquelle on peut d'ailleurs donner une position quelconque dans le plan.

Cette équation équivaut en effet a la suivante :

/" ds

Je A s >

a0 étant une constante arbitraire qui peut être réduite à zéro en

faisant tourner d'un angle convenable la courbe considérée autour

d'un point fixe du plan. On en conclut que s est une fonction

parfaitement déterminée œ'(a) de l'angle a et l'équation donnée

prend alors la forme

R = /(cp)= 4/(« ).

Elle définit ainsi que nous, venons de le voir des courbes toutes égales à une même ligne (c) et dont chacune s'obtient en imprimant à cette ligne (c) une translation déterminée.

Remarque. — Ce théorème a déjà été démontré directement au

paragraphe 32 à l'occasion de la théorie géométrique des surfaces développables.

Formule de rectification de Legendre. — Remarquons enfin