JA

^r (RiR2)^ r d^ r ,, . . ^.

3 J^ (RiCOs2 9-+-R2Sin2Ô)3 J^ ^ ^ •

L'intégrale relative à d» est égale à 7. Faisant le changement de variable tango = /, on aura

r^ Il

6 J (Ri-hR2^=^)

^^(RiRsV r (i-h-t^ydt

Il n'y a plus maintenant qu'à effectuer l'intégration indiquée. On trouve ainsi, tous calculs faits,

Telle est Texpression du volume cherché.

25. Voici quelques conséquences de la formule (3 1) relative aux coordonnées semi-polaires. Le volume d'un solide (R) étant

(3iy V== fff dxdydz= fff rdrdzd^,

le coin limité par deux plans 6 = Oo et 6 = B, le cylindre /• = a, le plan ^ = o et une surface z =/(r^^) aura pour volume

V= / db rf{r,^)dr.

Appliquée à l'hélicoïde à plan direclaur z = AQ, cette formule donne

v = — (e — Oo).

Elle convient d'ailleurs à un hélicoïde quelconque z = ?('') -h A 6, pourvu que la fonction (f n'ait qu'une valeur entre r = o et /• == «. Il suffit d'intégrer la fonction r^{r).

Servons-nous maintenant de la relation (Si)' pour évaluer le volume compris entre une surface de révolution autour de Ozy deux de ses méridiens 6 = Oq, 6 = et deux de ses parallèles z = Zq, z =^7j. Ce volume est

(33) ^= r d^ f frdrdz=^^^^ f (,r\ — r\)dz,

si l'on suppose que tout parallèle rencontre la méridienne en deux points seulement, aux distances r^ et ra de l'axe (r2!>^0 et d'un même côté de cet axe. On voit qu'il n'y a plus qu'à effectuer une quadrature en tenant compte des deux expressions

qui seront connues quand on connaîtra la méridienne.

Le trapèze (A), que les plans z = Zq, s = Z détachent du plan de la méridienne et dont celle-ci forme les deux côtés (l'un peut d'ailleurs être l'axe lui-même, /•< =o), a un centre de gravité dont la distance r© à l'axe est définie par la relation

^*o / / dr dz = j I r dr dz.

En conséquence, l'équation (33) s'écrit

V = Aro(e — 60),

si l'on représente par A Taire du trapèze générateur de la surface ; on voit que le facteur qui multiplie A est la longueur de l'arc de cercle décrit par le centre de gravité. De là, par une généralisation facile, on tire cette conclusion :

Quand un contour plan fermé tourne autour d^une droite située dans son plan, mais ne le rencontrant pas, le volume quHl engendre est égal au produit de Vaire comprise sous ce contour par la longueur de Varc de cercle que décrit son centre de gravité.

Ce théorème, souvent attribué à Guldin, était connu de Pappus. Si on l'applique au tore engendré par un cercle de rayon a, tournant autour d'une droite de son plan, située à une distance b de son centre, on voit que le volume total enfermé par cette surface est égal à iTz^a^b^ pourvu que a soit inférieur à 6.