J^ COS*V 3 \C0S3U
Telle est l'expression de l'aire cherchée.
19. Hélicoïdes, — L'élément superficiel de ces surfaces prend une forme simple quand on fait usage des coordonnées semi-
polaires /-, 8, z. Sî, en effet, z = ç(r) est l'équation du profil de la surface dans son plan, on aura, pour les points de Phélicoïde,
Nous avons formé (Ch. IX, n® 5) les coefficients de Télément linéaire
De là résulte l'élément superficiel
V/EG — F* drdQ = /r«(i -t- cp'2; •+- Aï dr d^.
On voit que l'aire de l'hélicoïde, limitée par deux cjlindres r= Tq, /• = R et par deux plans 8 = 60 et 6 = 0, aura pour mesure
f d^ / v/r2(n-cp^4^û?r = (e-eo) / /r2(i-+-cp'î)+A2rfr.
Surfaces de révolution, — Si l'on fait A = o dans la formule précédente, elle se réduit à
en désignant par w l'arc de la méridienne, on pourra écrire
(25) A = (e — 60) / rdu,
à la condition que r soit positif entre «/© et U.
Pour un segment de surface de révolution, la différence — 80 est égale à 21:, en sorte que l'aire devient
A = 2 Tc / r du,
formule qui permettrait de retrouver les expressions obtenues en Géométrie élémentaire pour l'aire latérale du cylindre, du tronc de cône et de la zone sphérique.
La relation (25) conduit à un énoncé géométrique élégant. Appelons / la longueur de l'arc de méridienne qui engendre le
segment considéré et/'o la distance du centre de gravité de cet arc à Taxe de révolution. On a, d'après la définition même du centre de gravité,
I r du = Tq /,
de sorte que la formule (a5) peut être écrite
A = /(e — eo)ro.
Ainsi Vaire engendrée par un arc de courbe plane qui tourne autour d^une droite de son plan et qui ne la rencontre pas est égale au produit de la longueur de cet arc par Varc que décrit son centre de gravité. Ce théorème, qui remonte à Pappus, est souvent appelé théorème de Guldin.
Appliquons-le au tore engendré par un cercle de rayon a tournant autour d'une droite de son plan, située à la distance b de son centre (on suppose b'^a), La longueur de la méridienne est iiza*, pour engendrer le tore entier, elle tourne d'un angle égal à aie; son centre décrit une circonférence dont la longueurest27r6; par suite, Vaire totale du tore est égale à ^tz^ ab.
VIII. — Mesure des volumes; généralités et premiers exemples*
20. La mesure des volumes est liée à la théorie des intégrales triples comme celle des aires à la théorie des intégrales doubles.
On sait que l'intégrale triple d'une fonction F de trois coordonnées X, y^ Zf étendue à une portion (R) de l'espace, limitée dans tous les sens, est définie d'une façon analogue à l'intégrale double. C'est la somme des volumes des parallélépipèdes rectangles infiniment petits, de même orientation, qu'on peut découper dans le solide (R), multipliés chacuu par la valeur que la fonction donnée F (x,y^ z) prend en un point arbitrairement choisi à son intérieur ou sur sa surface.
On peut évaluer une intégrale triple par trois intégrations successives, relatives à chacune des variables.
Si l'on substitué aux coordonnées cartésiennes Xj y^ z, des coordonnées curvilignes w, ^, iv, liées aux premières ainsi qu'il
a élé dit (n° 8, théorème II) pour les espaces à deux dimensions,
on aura
(26) fff ¥dxdydz = ff f F
ru
tJU ^
du ds? dw.
la seconde sommation s'étendant à tous les petits parallélépipèdes rectangles de l'espace (u, p, (v), intérieurs au solide qui, dans cet espace, correspond au solide (R).
Il résulte, en particulier, de l'équation précédente que la valeur d'une intégrale triple ne dépend pas de l'orientation des parallélépipèdes rectangles qui interviennent dans sa définition.
21. Étant donné un solide (R), limité dans tous les sens par des surfaces planes ou courbes, on le découpe en parallélépipèdes rectangles, ayant tous la même orientation, d'ailleurs quelconque, et l'on somme les volumes de ces solides élémentaires, rendus tous infiniment petits. Uintégrale triple
(27) V= / / / dx dy dz
est, par définition, le volume du solide (R).
En raisonnant comme nous l'avons fait au n*^ 9, on établit que le volume d'un solide est la somme des volumes des solides élémentaires infiniment petits, à faces courbes, qui y sont découpés par les surfaces d'un système triple quelconque, sous les conditions sus- visées.
L'évaluation d'un volume est notablement facilitée, quand on peut la ramener à des intégrations simples dans lesquelles la fonction qu'on intègre ne contient que la variable d'intégration. On y arrive souvent par l'emploi de coordonnées curvilignes convenables. Mais, avant d'appliquer ce procédé, nous étudierons deux transformations générales de l'intégrale (27), consistant dans la sommation de ses éléments, so\i par tranches parallèles, soit par filets prismatiques.
22. Si l'on réunit tous les solides élémentairescompris entre les deux plans zeiz-\-dz^ox\ devra effectuer d'abord l'intégrale double
JJd. dy.
24o CHAPITRE XI.
étendue à toute la section que le plan z détermine dans le solide proposé. Celle intégrale n'est autre chose que l'aire même A(^) de celte section. On n'aura donc plus qu'à intégrer la différentielle K{z)dz entre les valeurs de z qui correspondent aux points extrêmes du solide.
L'application de ce procédé est avantageuse quand le solide proposé est tel que l'on connaît sans calcul l'aire des sections qui y sont faites par une série de plans parallèles.
Tétraèdre. — Prenons pour origine l'un des sommets, pour plan des xy un plan parallèle à la base, et soit h la hauteur correspondant à cette base, dont l'aire sera désignée par B. Celle de la section faite par un plan z étant égale à B^^^A^, nous aurons le volume cherché en multipliant cette aire par dz et intégrant entre les limites zéro et h. On trouve ainsi que le volume d'un tétraèdre est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur. On ne procède pas autrement en Géométrie élémentaire, pour arriver à ce résultat capital.
Paraboloïde elliptique, — Soit à évaluer le volume du segment que détache du paraboloïde elliptique
h"^ = iz
le plan mené perpendiculairement à son axe à la distance h du sommet. La section faite par le plan z est une ellipse, d'aire égale à
l'KsJah z. Multipliant par dz et intégrant entre les limites o et A,
nous trouvons
V = TC Jab A* = — 2TC Jab h,
Or 2.'K s/ ah h est l'aire de la base du segment. Donc, le volume du segment est égal au demi-produit de sa hase par sa hauteur.
Théorème. — Si deux solides sont tels que tout plan parailèle à un plan fixe y détermine deux sections d^ aires équivalentes, deux plans quelconques, parallèles à ce plan fixe, en détachent des segments de même volume.
En effet^ si les sections des deux solides par le plan z ont même
ARCS, AIRES ET VOLUMES. 24l
aire A(^), les volumes considérés auront la même expression
dz
et, par suite, seront égaux.
Ce théorème, qui généralise une propriété fondamentale de la pyramide, permet d'affirmer que, si trois solides sont tels que tout plan parallèle à un plan fixe détermine dans le premier une section d'aire équivalente à la somme ou à la différence des aires des sections quHl détermine dans les deux autres, deux plans quelconques, parallèles à ce plan fixe, détachent du premier solide un segmeut dont le volume est égal à la somme ou à la différence des volumes des segments qu'ils détachent des deux autres solides. Les quadriques à centre vont nous fournir un exemple de cette règle.
Considérons d'abord l'ellipsoïde
xi yi z^
le cylindre circonscrit parallèlement à Taxe des z^ et le cône
qui a pour sommet le centre de l'ellipsoïde, et pour directrice la section du cylindre précédent par le plan tangent mené à l'ellipsoïde en l'un des sommets situés sur l'axe des ^. Tout plan z coupe l'ellipsoïde suivant une ellipse dont l'aire
Tz ab \ \ 1 = Tzab — tz ab —r
est la différence des aires des ellipses suivant lesquelles il coupe le cylindre circonscrit et le cône considéré. Donc, deux plans parallèles au plan des xy détachent de V ellipsoïde un segment dont le volume est égal à la différence de ceux des segments qu'ils détachent du cylindre circonscrit parallèlement à Vaxe des z et du cône (29).
En raisonnant de même pour les hyperboloïdes, on arrive aux résultats suivants : Etant donnés un hyperboloide à une nappe, R. 16
son cône asymptote et le cylindre qui lui est circonscrit parallèlement à son axe non transverse, deux plans perpendiculaires à l-axe non transverse détachent de V hyperboloïde , du cône et du cylindre des segments dont le premier a un volume égal à V excès du volume du second sur celui du troisième. Pour Thyperboloïde à deux nappes et les segments qu'en détachent des plans perpendiculaires à son axe Iransverse, on considérera, avec le cône asymptote, le cylindre circonscrit à V liyperboloïde conjugué, parallèlement à Vaxe nqn transverse de ce dernier. Le volume détaché de Thyperboloïde à deux nappes est la différence entre le volume détaché du cône et le volume détaché du cylindre.
On verrait d'ailleurs aisément que les énoncés précédents s'étendent aux segments détachés des quadriques à centre par des plans parallèles à un plan diamétral.
23. Revenons à l'intégrale (27) pour sommer ses éléments par filets prismatiques, c'est-à-dire en réunissant tous ceux que traverse une parallèle à l'axe des z. Ce mode de groupement est le plus naturel, quand le solide proposé est un tronc de cylindre fermé à base courbe, dont les génératrices sont parallèles à l'axe des z. Le plan de l'une des bases étant pris pour plan des xy^ soit z=f{x^ y) Téquation de la surface qui forme l'autre base ; la fonction /^ n'a qu'une valeur en chaque point {x^y) intérieur à la section droite, et conserve dans toute cette région un signe invariable, qu'on peut supposer être le signe /?/a5. L'intégration, étant étendue à tous les éléments de volume qui ont une arête dirigée suivant la perpendiculaire au plan des xy au point {x, y) donne, pour volume du filet prismatique,
dx dy l dz = z dx dy,
Jq
Il reste à sommer tous les filets qui reposent sur la base plane du cylindre, ce qui donne
(3o) V= f C zdxdy,
l'intégrale double s'étendant à toute l'aire (B) de cette section
droite. On pourra d'ailleurs, pour l'évaluer, employer tel système
de coordonnées curvilignes qui conviendra.
Si la surface z ^=f(^x^y) est un plan, le centre de gravité de
cette base est en un point dont la coordonnée Zq est définie par la
relation
r r dxdy r r zdx dy
^^^ -'b) ^^^^' J J{B) "cÔsT"'
OÙ X désigne l'angle des deux bases. On a, d'après cela, V=: Bzq, en désignant par B Taire de la base située dans le plan des a;y. Ainsi, le volume d'un tronc de cylindre à bases planes est égal au produit de l'une des bases par la distance du centre de gravité de la seconde base au plan de la première. Cet énoncé n'exige pas que le tronc de cylindre soit droit. On remarquera que le résultat est indépendant de l'orientation mutuelle des deux plans de base; il faut seulement que chacun d'eux rencontre toutes les génératrices.
La sommation par filets prismatiques s'applique à un tronc de cylindre fermé, ayant ses génératrices parallèles à O^, et pour bases des portions de deux surfaces
Si les deux fonctions /, et/2 ont une seule valeur en tout point (^, y) intérieur à la section droite du cylindre, et si la différence y*2 — f\ reste positive dans toute cette région, il suffira de décomposer le solide en deux troncs, ayant chacun comme base une section droite (B), pour voir que son volume est représenté par l'intégrale double
<3o)' V= f f (z^-zOdxdy.
Cette remarque permet d'exprimer par une intégrale double le volume compris sous une surface fermée que toute parallèle à l'axe Oz rencontre en deux points seulement. Il suffit, en effet, dans l'intégrale (3o)' d'entendre par (B) la section droite du cylindre circonscrit parallèlement à l'axe Oz et par Sj, ^o les z des deux points où la surface est rencontrée par la perpendiculaire élevée sur le plan des xy en un point (a:, y) de la base (B).
ll\!\ CHAPITRE XI.
24. Nous allons, en vue des applications, calculer, en coordonnées semi-polaires et en coordonnées polaires, l'expression qui est soumise au signe d'intégration dans le second membre de la formule fondamentale (26), particularisée par l'hypothèse F = i . Nous avons ainsi
/ / / dx dy dz = I I j Idudvdw, en désignant par J le déterminant fonctionnel
de x^ y^ z par rapport aux nouvelles variables w, r, iv.
Dans le passage au système semi-polaire, la coordonnée z ne changeant pas, J se réduit au déterminant fonctionnel de x^ y par rapport à r et 9, qui a été calculé déjà (n** 13) et trouvé égal à /*. On a donc
(3i) J drdzd^ = rdrdzd^.
Pour les coordonnées polaires p, <|i, 6 les relations (6) donnent (32) J dpd^d^ = p^s'in^dp d^ g?ô.
On arrive sans calcul à ce résultat en profitant de la transformation précédente et remplaçant, dans chaque plan 6 = const., les coordonnées rectangulaires z^ r par les coordonnées polaires p, à, ce qui conduit à écrire psini}; et p do d^ au lieu de r et de drdz. Nous allons faire immédiatement une application de ce dernier résultat. Ayant
(32)' V= f f f dxdydz= f f f p^ sin^ dp d^ d%,
nous supposerons que la région (R) soit limitée par une surface qui ne peut être rencontrée en plus de deux points par une droite.
A chaque couple (<|i, 6) correspondra une seule valeur de p, et nous pourrons effectuer une première intégration par rapport à p, ce qui donnera
rintégrale relative à d/ s'étendant à toute Taire d'une section 6 = const. Si l'origine des coordonnées est à l'intérieur, de la surface, ^ variera de o à ti. Si l'origine est un point de la surface, l'une des limites de ^ sera o ou t: (suivant la direction choisie pour Oz) ; l'autre sera, en général, variable avec 6.
Comme exemple, considérons une surface quelconque^ dont les deux rayons de courbure principaux soient positifs en un point simple O pris pour origine ; si l'on prend pour plan des xy le plan tangent en O, pour plans des zx et des ^j^ les plans des sections principales relatives à ce point, et qu'on cherche le lieu des centres de courbure, relatifs au point O, de toutes les sections planes de la surface qui passent en ce point, on verra facilement, à l'aide du théorème de Meusnier etde la relation d'Euler (Ch.VIl, n°^l et 3), que la surface cherchée a pour équation
C'est une surface fermée, admettant l'axe O^ comme droite double et tangente à l'origine au plan des xy. Pour trouver le volume V qu'elle limite, nous emploierons son équation en coordonnées polaires, qui est fort simple,
R1R2 COStJ^
^ Ricos^e + Rgsin^ô Quelque soit 8, les valeurs limites de d» sont - et o. On a donc
