I.I4KVIBE SANS VISCOSITÉ

— Nous rattacherons presque toutes les questions que présente Phydraulique à une formule fondamentale qui a été donnée par Daniel Bemoulli ('), et que nous obtiendrons en appliquant au mouveraent permanent d'un liquide pesant Téquation générale des forces vives- Ce dernier théorème consiste en ce que l'accroissement de la demi-force vive est égal à la somme des travaux des forces, soit extérieures, soit inférieures. Nous aurons donc à tenir compte de l'efTet assez mal connu de ces dernières, que Ton désigne sous le nom de viscosité (^). On comprend, à la vérité, dans cette dénomination, en même temps que les actions intérieures, l'influence extérieure des forces tangentielles, c'est-à-dire des frottements exercés par les parois entre lesquelles s'écoule la veine liquide considérée ; soit que ces surfaces appartiennent à la masse indéfinie du liquide au sein duquel on isole, par la pensée, un filet partiel, pour lui

(*) Bjfdrodynamicat p. 264.

(*) On doit à M. Engler, professeur au Polytechnikum de Carlsruhe, un appareil destiné à la mesure de la viscosité dans les huiles minérales. Cette appréciation est fondée sur la comparaison des temps qu'un volume déterminé met à s'écouler à travers un ijutage, dans des conditions uniformes. On estime qu'une bonne huUe de graissage doit couler dix fois plus lentement que l'eau.

appliquer le théorème ; soit qu'elles constituent les rivages solides qui embrassent l'ensemble d'un courant.

Dans certains cas» avec des liquides doués d'une grande fluidité, et le long de faibles parcours, ces influences peuvent être négligées. Mais, pour de longs trajets, il devient, au contraire, indispensable d'y avoir égard. Nous commencerons donc par présenter le théorème de BernouUi sous la forme simple, dans laquelle on fait abstraction de la viscosité intérieure et des actions tangentielles des parois ; nous réservant de rétablir ultérieurement ces forces perturbatrices.

Je rappellerai d'ailleurs que la démonstration suivante, qui suppose la conservation des tranches, reste complètement générale pour un filet infinitésimal (n** 18) ; et, qu'en outre, le théorème qu'elle fournit pourra également être invoqué directement avec des veines de dimensicms finies, lorsque l'hypothèse du parallélisme des tranches se trouvera, pour elles, convenablement justifiée.

Z& — Envisageons donc un filet liquide compris entre deux

tranches A^B^^ et Xfi^ (fig. 3), séparées par un intervalle fini quelconque A^Aj. En un temps d/, cette masse liquide atteint la situation A/B/Aj'B/.

La partie commune A/B/A^B, possédant, d'après la permanence du mouvement, des vitesses immuables en chaque point, sa force vive disparait identiquement dans la soustraction; il ne reste, pour former le premier membre de l'équation, que la différence des demi -forces vives des tranches extrêmes d'aval et d'amont A,B,A/B/ et A,BA'B;.

Le débit étant Q par unité de temps, le volume A,B,A/B/ a pour expression Qdt; le poids correspondant sera donc nQdtj et la masse ^^.

Si la vitesse de celte tranche est désignée par v^ y sa demi-force

vive aura pour valeur ^^ v^. Pour la tranche d'amont; il suffira

de substituer v^k v^y et, par suite, le premier membre de Téquation des forces vives deviendra :

t3QA . , ,,

Dans le second, se trouveront les travaux élémentaires de la pesanteur et des efforts développés normalement aux surfaces encaissantes. En ce qui concerne les parois latérales, ce travail est nul, puisque les filets superficiels les parcourent en restant perpendiculaires aux forces»

Pour les tranches extrêmes, les efforts s'exerceront, au contraire, suivant la direction même du déplacement, dans le sens moteur en A^B^, et dans le sens résistant pour AjB,. La force appliquée sur la tranche d'amont a pour valeur p^^w^,, si w^ représente l'aire de cette section, et/^^la pression en son centre de gravité (*). Le travail sera donc le produit de p^tù^ par le chemin parcouru v^dt. Comme, du reste, iùjo^ représente le débit Q, d'après l'équation de continuité (éq. 5), ce travail peut se mettre sous la forme pjidt. Celui que subit, en sens contraire, la tranche d'aval sera pour la même raison — pfidt\ et, par conséquent, l'ensemble des travaux exercés par les surfaces encaissantes se résumera dans le terme :

Qrf^(Po-Pi).

En ce qui concerne la pesanteur, imaginons qu'il faille un nombre n d'intervalles de temps dty pour que la tranche k^^k^^^ parvienne effectivement en A,B,Aj'B/. Dans ce trajet fini, cette tranche prend ainsi successivement les situations M^, M,, M^, ..., M^j, M^ (Gg. 4). En un même instant quelconque, tous ces volumes seront,

('] Si l'on suppose des dimensions tnnsTersales Unies. Lorsqu'il s'agit d'un filet élémentaire, le centre de graf ité peut être confondu avec un point quelconque de la tranclie.

dans la réalité, occupés par des masses équivalentes, puisqu'une même quantité d'eau est capable de s'y loger successivemenl. D'après cela, le travail de la pesanteur, qui figure dans l'équation des forces vives, s'exerçant à la fois, pour un seul intervalle de temps dt, sur V ensemble ^^}ll^...\^ M„ qui vient en MjMj.-.M^M^^.^,

est équivalent à la somme des travaux que la gravité exerce individuellement sur chacune de ces tranches, tandis qu'elle prend la place de la précédente; ou encore, puisqu'elles sont de masses égales, au travail qu'accomplirait la pesanteur sur Vunique tranche M, se transportant successivement d'un bout à Vautre du segment considéré, c'est-àdire de Mj en M^^., (*). Or on sait que ce travail est le produit du poids vsQdt de ce système auxiliaire par l'abaissement de son centre de gravité, qui, de (j^i^g* 5), vient en G,. Mais l'épaisseur des tranches étant infiniment petite, le centre de gravité d'un tel prisme, qui se trouve au milieu de sa longueur, peut être confondu avec celui de la section elle-même, lequel a été déjà envisagé plus haut. Si donc z^ et z^ désignent les altitudes des centres de gravité des sections extrêmes au-dessus d'un plan de comparaison, l'abaissement subi par ce centre sera ^0 — ^i > ^t finalement le travail de la pesanteur aura pour valeur :

Fig. 4.

S6 — Nous sommes maintenant en état de poser l'équation des forces vives :

TsQdt

(V — V) = Qdt(p^—p^) -h x^dt(z, — z^).

(*) On remarquera cette méthode de décomposition qui, jusqu'au point actuel, convient, non seulement à la pesanteur, mais pour des forces quelconques. Nous en verrons bientôt [n'' 35) une seconde application, en ce qui concerne la force centinfuge.

THÉORÈME DE BERKOULU. 25

Kous la transformerons en ramenant^ par un changement de signe^ tous les travaux dans le premier membre^ et divisant par le débit élémentaire en poids vsQdt (*). Elle devient par là :

A cette première forme de Téquation de BernouUi nous en jom* drons une seconde, en isolant, dans chacun des deux membres, les termes relatifs à chacune des deux sections extrêmes. Il est facile de Toir que Ton constitue ainsi deux valeurs distinctes d*une même expression algébrique. Cette fonction reste donc constante, puisque ses valeurs doivent rester les mêmes pour deux sections arbitraires. Nous pouvons, par suite, écrire :

(7) JL H- Z -^ ;,; = consl.

zg u

Sous cette forme, le théorème de BernouUi devient susceptible de renoncé suivant. Dans le mouvement d'un filet liquide pesant, la hauteur due à la vitesse (*), la hauteur piézométrique et t altitude (') forment une somme constante en tous les points de la trajectoire.

Élevons par la pensée jusqu'au vide, en chaque point G de ce filet (fig. 5), un tube manométrique GD, dans lequel le liquide prendra son niveau naturel N. Comme cette colonne supporte, en

(*) n sera bonde se rappeler ce mode de transformation « car nous aurons à l'appliquer de même aux divers travaux qui s'introduiront successivement, comme des tennes de correction, pour compléter la formule de BernouUi, dans les cas plus complexes qui seront envisagés après celui-ci.

(*) La fonction j-, qui est habituellement connue sous ce nom, joue un grand rôle

eu hydraulique. Il eu a été dressé des tables numériques, que l'on peut trouver dans le Cowr$ de mécanique appliqué de Bresse, t. H, p. 455 à 459; et dans celui de M. Collignon, t. n, p. 585 i 587.

(*) On sous-entend ici, pour le cas où l'on se trouverait autorisé [n? 18) à invoquer cet énoncé avec une veine liquide de dimensions transversales finies, que ces diverses variables s'évaluent alors sur le centre de gravité de la section, comme il résulte, à

I cet égard, des diverses parties de la démonstration précédente.

son pied, la pression p^ elle devra être égale (n"" 8) à la hauteur

piézométrique ^. Le lieu géométrique de ces niveaux piézométri-

que» N porte le nom de ligne piézométrique du filet. Élevons encore au-dessus de cette ligne piézométrique, en chacun

de ses points N, la hauteur due ^ ^\^ vitesse v du filet pour le

point correspondant G. L'équation (7) nous montre que le lieu géométrique des sommets D de ces hauteurs sera une ligne renfermée dans un plan horizontal. On les appelle Tun et Tautre ligne de charge et plan de charge. La ligne de charge forme, comme on le voit, la projection horizontale, sur le plan de charge, de la ligne piézométrique aussi bien que du filet lui-même.

Dans ces conditions, Rankine (^) distingue, dans le trinôme (7) qui constitue la charge constante au-dessus du plan de comparaison, chacun de ses trois termes en particulier sous les dénominations suivantes : ^'' hchoirge actuelle z, résultant de la situation géométrique qu'occupe l'élément liquide dans l'espace ; 2® la charge de tension

qui provient de son état de compression ; 3" la charge dyna-

rr

mique ^r due à son état de mouvement. Elles fournissent, quand

on les multiplie par le poids, les trois formes de l'énergie que l'eau serait capable de céder à l'appareil qui, apcès l'avoir recueillie en G, l'abandonnerait sans vitesse et sans pression dans le plan de comparaison.

On donne encore une troisième forme au théorème de Bernoulli. A cet effet, nous appellerons charge entre deux points G^ et G, la différence des niveaux piézométriques N^, et N, relatifs à ces deux sections (*). Or, si l'on écrit l'équation (6) de la manière suivante :

{*) Manuel de la tnachine à vapeur et des autre» moteurt. Trad. par M. G. Richard, p. 104.

(*) U faut bien se garder de confondre la charge entre G^ et Gi avec la dénivellation de ces points % et G| eux-mêmes. Elle constitue la chute de la ligne piézométrique, et non celle du filet liquide.

on voit que le second membre exprime précisément cette' quantité, d*où l'énoncé suivant : Dans le mouvement d'un filet liquide pesanty F accroissement de la hauteur due à la vitesse, d'un point à Vautre de la trajectoire^ est égal à la charge entre ces deux points.

V7 — Nous pouvons signaler dès à présent d'importantes appli- <rations du théorème qui vient d'être établi.

Supposons^ en premier lieu, la figure du canal complètement définie à l'avance,, de telle sorte que, pour chaque valeur de 2, on possède celle de co. Dès lors, si l'on adjoint à la formule de Bernoulli l'équation de continuité (éq. 5) , on possédera deux relations pour déterminer/? et v en fonction de s. De cette manière, le problème se trouvera complètement résolu.

Il donne lieu, dans ces conditions, à une remarque essentielle. 11 •est clair, en effet, que la pression est une quantité nécessairement positive, qui peut tendre vers zéro, mais non descendre au-dessous. La seule interprétation possible d'un semblable résultat analytique ^rait celle d'une distension des molécules, à laquelle la constitution <ies liquides n'est pas en état de résister. La continuité se trouverait <lès lors détruite, tandis que l'équation de continuité (éq. 5) a été expressément invoquée pour ce calcul.

Il y aura donc lieu, après avoir déduit de l'élimination la valeur algébrique de p, d'exprimer que cette fonction doit rester positive, ce qui imposera aux éléments de la question certaines limites qu'ils ne devront pas franchir. Si l'on excédait les bornes ainsi déterminées, on verrait nécessairement le phénomène se transformer, puisqu'il deviendrait impossible sous sa forme primitive f ). Au lieu de suivre à plein tuyau tous les renflements que l'on aurait voulu lui imposer a priori, d'après la constitution du tube, le liquide abandonnerait les parois, le tuyau se dégorgerait, et l'eau ne sortirait plus à gueule-bée. Il s'établirait alors dans les intervalles, sous le nom de remous, des masses tournoyantes, soustraites au mouvement de transport général, et appelées à jouer un rôle considérable qui sera analysé plus loin (n°' 51 et 60).

(') 5ous rencoDtrerons plus loin (n** 64, 65) des exemples de semblables circonstances.

— On peut indiquer une seconde application générale des équations de continuité et de Bernoulli. Elle est relative au cas pour lequel, les variations de la section cessant d'être connues à l'avance, la pression peut, en revanche, être déterminée directement au moyen des quatre règles qui ont été énoncées à cet égard (n~ 20 à 23).

Les deux relations permettront alors de calculer v et w. On ne rencontrera plus, par conséquent, la même limitation que dans le cas précédent. Le phénomène considéré pourra toujours se réaliser, la veine se gonflant et se resserrant d'elle-même, suivant les obligations que lui créent les circonstances, puisque la section 0), au lieu d'être imposée a priori^ devient un résultat du calcul.