ÉVALUATION BE LA PRESSION

ItO — En général» la pression se trouvera engagée avec les autres inconnues dans les diverses équations du problème, et ne pourra être obtenue que par la voie de l'élimination, lorsque toutes les relations nécessaires auront été établies. On peut cependant signaler des cas assez étendus, dans lesquels certains aperçus directs permettent de se procurer immédiatement la valeur de cet élément essentiel. Il importe, par suite, de les indiquer tout d'abord. Il en existe quatre, dont deux se prêtent à des solutions rigoureuses, tandis que les deux autres fournissent seulement des va* leurs approximatives.

Le premier cas est celui pour lequel chaque filet liquide décrit, dans te régime proposé, la trajectoire spontanée qu'affecterait le mouvement d'un mobile libre soumis aux mêmes forces extérieures ; les molécules liquides parcourant en outre cette courbe précisément suivant la loi du mouvement que ces forces sont capables de communiquer directement à un point matériel (').

La pression reste alors rigoureusemekt constante dans toute retendue de la veine. Elle sera par suite nulle, si l'écoulement a lieu dans le vide ; ou égale à celle de l'atmosphère ambiante, au sein de laquelle s'effectue, au contraire, le mouvement.

En effet, s'il existait une variation de pression dp entre deux points M et M* infiniment voisins, nous prendrions MM' pour Taxe d'un cylindre élémentaire analogue à ceux que nous avons déjà considérés, et nous écririons l'équation différentielle de son mouvement projeté sur cette droite. Les efforts exercés sur la surface latérale de la part du liquide environnant disparaîtraient en projec-

(1) Par exemple, s'il s'agit d'un liquide pesant, cet énoncé suppose d'abord que les filets présentent la forme de paraboles ayant leur aie Tertical. Nais cela ne saurait d'ailleurs suffire. Il faut, en outre, que la projection verticale de Técoulement qui se produit en réalité, représente un mouvement uniformément varié, dont l'accélération soit précisément égale à celle de la gravité : ^ =9*,8088.

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lion, et ceux qui sont appliqués sur les deux bases ta donneraient pour la somme algébrique de leurs projections ^p. Cette force perturbatrice Tiendrait donc mêler son influence aux autres actions extérieures, et empêcherait que le mouvement fût, conformément à Fhypothèse, identique à celui qui résulte de ces forces prises isolément.

JM — St les filets sont rectilignes et de vitesses constantes^ le régime des pressions est rigoureusement celui de Vkydrostaiique défini par les théorèmes 6 et 7.

En efTet, si chaque point matériel est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme, les forces qui le sollicitent satisfont aux relations d'équilibre. Il en est donc de même pour tout l'ensemble de la masse, ce qui constitue l'état hydrostatique.

%% — Pour un fluide animé de mouvements très lents y le régime des pressions est seksiblement celui de V hydrostatique. '

En effet, des mouvements quelconques, mais indéfiniment ralentis, ayant pour limite Tétat de repos, le régime progressivement variable de pressions qui leur correspond, doit se rapprocher de plus en plus de la limite relative à l'état d'immobilité.

— Si une veine liquide traverse un certain plan avec des trajectoires normales et d'une très faible courbure , le régime des pressions dans l'étendue de ce plan est sensiblement celui de Vhydrostatique.

Envisageons, en effet, la tranche liquide comprise entre le plan en question et un autre que Fon mènerait parallèlement, à une distance infiniment petite du premier. Nous appliquerons au mouvement de ce système matériel le théorème de D'Alembert, en écrivant les équations de projections sur deux axes tracés dans ce plan, et celle des moments relativement à un axe perpendiculaire, avec adjonction aux forces réelles des forces d'inertie pour écrire l'équilibre de cet ensemble. Or, ces dernières se décomposent, sur chaque point

matériel, en forces tangentielles m j-, et forces centrifuges m — .

Les premières peuvent avoir des intensités quelconques, mais comme elles sont, d'après l'hypothèse, perpendiculaires au plan, elles disparaissent identiquement des trois équations en question. Quant aux forces centrifuges, nous les négligerons par approximation en raison de leur faible intensité, puisque les rayons de courbure p sont supposés très grands.

Ce résultat, simplement approximatif dans les conditions de renoncé, deviendrait rigoureux si toutes les trajectoires présentaient, à la traversée du plan , un point d'inflexion ; ou si elles étaient rectilignes sur une longueur finie, car on aurait alors

p=oo , et — = U.