VISCOSITÉ

Î&9 — Prenons, sur le filet liquide, un point 0 comme origine à laquelle nous rapporterons les différents points de la trajectoire au moyen de leurs distances en arc s. Envisageons un tronçon M^,M, défini par les coordonnées s^, s^ de ses extrémités, et divisons-le en une infinité d'éléments ds. Sur chacun de ces derniers, tel que MM', nous aurons à évaluer la somme des travaux de toutes les forces qui ont été laissées de côté dans le paragraphe précédent. Le déplacement général que subissent les points de cette masse liquide étant vdty le travail total qui la concerne sera le produit de ce chemin par la somme de toutes les composantes tangenti elles. Cette somme sera naturellement infiniment petite, comme le tronçon lui-même. Elle pourra donc être mise sous la forme Bds, en introduisant un facteur R convenablement choisi. Ce coefficient étant, d'après sa définition même, le rapport de l'ensemble des forces tangentielles développées sur les divers points matériels d'un tronçon élémentaire à la longueur de ce dernier, porte le nom de résistance par unité de longueur. Sa valeur varie, en général, d'un point à l'autre du filet, et elle reste, pour le moment, inconnue.

D'après cela, le travail de la viscosité sur leti'onçon élémentaire MM' s'exprimera par :

— Rds.vdt.

Nous pourrons, en éliminant la vitesse à l'aide de l'équation de continuité (éq. 5), le mettre sous la forme :

— IXds.^dL

Le travail total, relatif au segment fini M^M^ s'obtiendra en intégrant cette expression entre les limites «^ eis^. Dans cette sommation, qui est faite par rapport à «, le temps dt sort du signe d'intégration, ainsi que la constante Q, et il vient définitivement :

f ~ds.

— Tel est le terme de correction que nous devons introduire dans le second membre de l'équation des forces vives. Or la formule de BemouUi s'en est déduite sous sa forme (6), en changeant le signe des travaux et les divisant par le débit en poids usQdt (page 25, note 1). Elle deviendra donc, dansées nouvelles conditions :

(9) ^i!ziîV^/^z:P,^^^

Elle se met également sous la forme :

(10) -r h — -f-3H /— e/« = const.,

|)ar la substitution d'une intégrale indéfinie à l'intégrale définie.

Nous pourrons enfin écrire, au moyen d'une dernière modification:

et le théorème de Bernoulli, ainsi complété, s'énoncera en disant que da7iê le mouvement d'un fluide pesant soumis à des forces de viscositéy V accroissement de la hauteur due à la vitesse est égale à la charge^ sauf une perte de charge (') qui a pour expression :

On ne doit voir, du reste, pour le moment, dans cette formule qu'un résultat transitoire , puisque la fonction R reste provisoire^ ment inconnue. Elle n'en sera pas moins très utile, et nous indiquerons plus tard ce que l'on est parvenu à connaître au sujet de la résistance R par unité de longueur.

[*) 11 en résulte que la ligne de charge effective, c'est-à-dire le lieu des sommets de la colonne :

P/«n dâ chtipffe tbéonqa»

Buaeardae v*!

Hautaut p |

H^<^ififlBna^-

que nou8 avons élevée au-dessus du plan de comparaison {û? 26), va en descendant successivement (fig. 5] à partir du plan de charge théorique qui serait mené horizontalement par le sommet de la colonne initiale :

Cet abaissement progressif :

4Itztud8