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Plan de oflmMraijon Fig. 5.
qui forme une perte contmue de charge, se complique en outre de perte* hrutquee de charge que nous rencontrerons en diverses occasions (n** 62, 70, 111), et qui donnent lieu alors, non plus à une allure progressivement descendante, mais à des décrochements subits de la ligne de charge.
THÉORÈME DE BERNOULLI. 3i
«•IJ¥BHBNT RELATIF
31 — Il sera intéressant, pour étudier le fonctionnement de l'eau à rintérieur d'un récepteur hydraulique, d'envisager le mouvement relatif du liquide, qui résulte du mouvement d entraînement attribué au mécanisme. 11 y a donc lieu de transformer encore une fois la formule de BernouUi, pour l'adapter à ce nouveau point de vue.
On sait d'une manière générale que tous les théorèmes de la mécanique sont directement applicables au mouvement relatif, pourvu que l'on adjoigne aux forces réelles deux forces fictives, à savoir : 1" la force d'inertie du mouvement d'entraînement; 2* la force centrifuge composée. Mais, lorsqu'il s'agit en particulier du théorème des forces vives, il s'opère une importante simplification par la disparition spontanée de cette dernière. Elle est, en effet, constamment normale à la trajectoire relative et n'effectue, par suite, aucun travail. 11 restera donc simplement, pour former le terme de correction de l'équation (9)^ à évaluer le travail de la force d'inertie d'entraînement, à le changer de signe f), et à le diviser par le débit en poids xsQdt (page 25, note 1).
Pratiquement, cette question ne présente d'intérêt que pour les récepteurs animés d'une rotation uniforme ('). Ces appareils tournent ordinairement autour d'axes horizontaux ou verticaux, et portenty suivant ces cas, les noms de roues ou de turbines. Ce n'est que dans des cas tout à fait exceptionnels que l'on en a disposé autour
(*) Ce qui revient, si l'on veut, à calculer directement le travail de la force totale du mouvement d*entralnement.
(*) Dans la réalité, cette rotation est, non pas uniforme, mais simplement périodique ; la durée de la période étant égale au temps nécessaire pour le passage d'une aulfe succédant à la précédente. Ces appendices sont totgours, en effet, répartis symétriquement sur la circonférence du récepteur. Mais la différence qui sépare ce régime de l'uniformité est bien peu sensible, en raison de l'importance du moment d'inertie du système tournant, qui fait fonction de volant ; et l'on en fait toajours abstraction.
d*axes inclinés. Mais il ne nous sera pas plus difficile d*aborder ici le problème avec ce degré de complète généralité.
jn.£V
31t — La force d'inertie du mouvement d'entraînement devient, dans ces conditions, la force centrifuge. Elle est dirigée suivant le rayon de rotation CM (fig. 6), en s'éloignant du centre C, et a pour
valeur msV, si m désigne la masse élémentaire considérée, r son rayon, et s la vitesse angulaire.
Représentons par MM' l'arc de trajectoire relative. Le travail étant le produit de l'intensité de la force par la projection MK du chemin parcouru sur sa direction, aura pour valeur msV.MK.
Nous obtiendrons la projection K du point M' en coupant la droite CM par un cylindre de révolution décrit autour de Taxe et passant par le point M'. Son rayon CK sera donc celui r -4- dr du point M', et, par conséquent, MK aura pour valeur dr. Le travail élémentaire de la force centrifuge étant ainsi devenu :
Fig. 6.
mt^rdr.
le travail fini, développé le long d'un parcours M^Mj, aura pour valeur :
f mi*rdr =
Or er représente la vitesse d'entraînement, que nous conviendrons de représenter par w, en réservant la lettre v pour la vitesse absolue, et employant w pour désigner la vitesse relative. Il vient donc fina-
\ement, pour l'expression du travail de la force centrifuge accompli par la masse m sur un parcours quelconque M^M^ :
— Si maintenant nous envisageons le tronçon ÂoB^A^B, (Gg.4) dans son transport en A/B/A/B/, nous avons vu (p.24,note 1) que le travail exercé sur cette masse totale, pendant son déplacement infiniment petit, peut s'évaluer à Taide de la seule masse élémentaire A^BqA^'B/, à laquelle on imposerait par la pensée le trajet total qui la sépare de la situation A^B^A/B/. Ce travail sera donc fourni par la dernière expression, dans laquelle m représenterait la masse de ce tronçon élémentaire A^B^A^'B/.
Mais nous devons, pour passer de Tcquation des forces vives à celle de BernouUi (p. 25, notel), diviser ce travail par le débit en poids, qui a pour valeur mg^ et changer le signe du résultat. Le terme de correction qu'il faut adjoindre au premier membre de la relation (9) sera par conséquent :
La formule de BernouUi devient dès lors, en marquant, amsi que nous en sommes convenus, par w la vitesse relative :
H 5) ^i^ — ^o* V — 'V . Pi— Pc
2g 2flf CT
ïi — 5oH / — rf« = 0,
ou encore :
(14) -r -5 h-^ h»H I — ds = consl.
2j 2y vs
84 — 11 est bon de signaler un cas très étendu dans lequel le théorème de BernouUi éprouve une simplification importante, car
U UYDRAUUQUE.
il s^applique alors dans le mouvement relatif exactement comme dans le mouvement absolu. Ce cas est celui d'une trajectoire quelconque dont les deux extrémités sont seulement assujetties à la condition de se trouver à la même distance de taxe. On a, en effef, alors w, = Wq, et le terme de correction s'évanouit de lui-même.
Cette circonstance se présentera notamment pour un tronçon de longueur quelconque d'une trajectoire tracée arbitrairement sur un cylindre de révolution^ ce qui est le cas de certains récepteurs hydrauliques.
