CHAPITRE V

FROTTEMENT DEfS LI^^UIDES

'7± — Lois du frottement des liquides. — Nous avons, dans les deux derniers chapitres, étudié les phénomènes qui caractérisent les points singuliers de Técoulement. Il nous faut maintenant envisager les longs parcours ^ sur lesquels s'use progressivement rénergie motrice.

Nous y distinguerons les tuyaux de conduite, dont la théorie formera l'objet de ce chapitre, et les canaux à ciel ouvert, auxquels nous consacrerons le chapitre suivant. Ces deux modes d'écoulement diffèrent essentiellement l'un de l'autre, en ce que la section transversale des tuyaux étant une courbe fermée, permet des tensions quelconques, tandis que, pour les canaux, la pression atmosphérique s'exerce directement sur la surface libre suivant toute son étendue.

La théorie du mouvement de l'eau dans les tuyaux sera encore basée sur le théorème de BernouUi, mais à la condition, bien entendu, d'y tenir compte de la viscosité (éq. 11). Il est donc essentiel de déterminer avant tout la fonction R, qui représente la résistance par unité de longueur ('). Il est remarquable, à cet égard,

(*) Il De saurait entrer dans les proportions de ce Cours de présenter ici le développement des expériences qui ont servi de base à l'établissement de ces énoncés, de leur laborieuse discussion, en même temps que des investigations théoriques par

no HYDRAULIQUE.

que les lois du frottement des liquides soient, en quelque sorte, sur tous les points, l'inverse de celles qui président au frottement des corps solides.

Le frottement de Veau est proportionnel à la surface mouillée (*).

Cette surface étant cylindrique aura pour mesure le produit de sa longueur /par le périmètre de sa section droite, que Ton est dans Tusage de représenter par /. Le facteur yl entrera donc dans l'expression de R.

Le frottement de Veau est indépendant de la pression (*).

lesquelles on s'est proposé de découvrir ces lois a priori. On peut consulter, pour ces divers objets, les documents suivants : Kleitz. Études sur les forces moléculaires dans les liquides en mouvement (Comp^^s rendus de r Académie des sciences^ LXXIV, 450).

— Stokes. On the Theory of the internai Friction of Fluids in motion (Cambridge s Transactions f VIU, 292). — Darcy. Études théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux courantes, 1848. — batcj» Recherches expérimentales relatives au mouvement de l'eau dans les tuyaux, 1857. — Darcy et Baiin. Recherches hydrauliques, etc. [Mémoires présentés par divers savants à l'Institut, XIX). — Boussinesq. Essais sur les lois trouvées expérimentalement par M3I. Darcy et Bazin {Comptes rendus de V Académie des sciences, 29 août 1870). — Boussinesq. Sur l'influence du frottement dans les mouvements réguliers des fluides (Journal de mathématiques pures et appliquées, 2* série, t. XIII, p. 577 ; — Comptes rendus de l'Académie des sciences, LXYII, 287). — Boussinesq. Sur le mouvement varié de l'eau dans les canaux et les tuyaux (Cotnptes rendus de r Académie des sciences, 3 et 10 juillet 1871). — Maurice Lévy. Essai théorique et appliqué sur le mouvement des liquides [Annales des ponts et chaussées, 1867). — Maurice Lévy. Hydrodynamique des liquides homogènes [Comptes rendus de V Académie des sciences, LXVIII, 588). — Colonel Boileau. Notions nouvelles d'hydraulique concernant les tuyaux de conduite, les canaux et les rivières, in-4'*, 1881. — Daniel Bernoulli. Bissertatio de actione fluidorum [Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg, II).

— Du Buat. Principes d'hydraulique, § 34 à 36. — Coulomb (Mémoires de VlnstittU, III).

— ^Vi\\QV (Mémoires de ClnstHut, VI). — Poncelet. De la communication latérale du mouvement dans les fluides (Introduction à la mécanique industrielle, 1841, p. 531).

— De Saint-Tenant. Mémoires sur l'hydrodynamique des cours d'eau (Comptes rendus de r Académie des sciences y LXXIV). — E. Matthieu (Comptes rendus de V Académie des sciences, LVII, 320). — Lechevallier. Mémoires sur le mouvement des fluides. Metz, 1828. — Gauckler. Du mouvement de l'eau dans les conduites et les canaux (Annales des ponts et chaussées, 1868). — Gueymard. Mémoire sur la conduite des eaux dam des tuyaux métalliques de forme cylindrique. — Genieys. Essai sur les moyens de conduire et de distribuer les eaux.

[*) Tandis que, pour les solides, il est indépendant de retendue des surfaces en contact.

(') Tandis que, pour les solides, il est proportionnel à la pression mutuelle. Notons toutefois que les vérifications de Darcy à cet égard n'ont été poussées que jusqu'à quatre atmosphères [Mémoires présentés par divers savants à PInstitut, XV). D'après les observations du P. Secchi (Comptes rendus de l'Académie des sciences, 2* semestre de 1837, p. 627), le frottement semblerait augmenter légèrement pour les très grandes pressions (de Galigny, /ourna/ de mathématiques pures et appliquées, 1838 et 1841. — Recherches théoriques et expérimentales, etc., t. I, p. 375).

Le facteur p ne figurera donc pas dans cette fonction. Cette circonstance présente une grande importance. On peut remarquer notamment qu'il n'y aura pas lieu, d'après cela, de redouter, au point de vue de la meilleure utilisation de la charge, les conduites forcées destinées à franchir le fond des vallées, quelque grande que soit la pression qui s'y développe. Leur résistance élastique à de pareils efforts a seule lieu de préoccuper l'ingénieur.

Le frottement de Veau dans les tuyaux dépend de la vitesse moyenne qui s'y développe (*).

Cette notion de la vitesse moyenne est tout à fait capitale. Il ne faudrait pas croire, en effet, que le liquide s'avance d'un seul bloc, comme le ferait un piston solide. Au contact de la paroi, glisse une première pellicule liquide, ralentie dans son mouvement par le frottement direct contre le métal. Une seconde gaine fluide glisse à l'intérieur de la précédente, ralentie de même par l'action tangentielle qu'elle en éprouve, et ainsi de suite jusque dans la région centrale, où s'observerait la vitesse maximum. On a comparé, avec beaucoup de justesse, cette conception au déboitement des tubes d'une lunette d'approche, lorsque Ton tire le tuyau central, qui entraine tous les autres avec des vitesses décroissantes jusqu'à l'enveloppe extérieure, maintenue dans l'immobilité (*).

t^] Tandis que, pour les solides, il est ordinairement considéré comme indépendant de la vitesse. Cependant les nouvelles expériences de M. Marcel Deprez montrent qu'il T a beaucoup à rabattre de cette assertion.

i*} U est toutefois nécessaire d'ajouter que cette conception, plus rationnelle que celle qui ferait avancer toute la masse d'un seul bloc, ne renferme pas encore le dernier mot de la réalité. Le mécanisme effectif de l'écoulement paraît présenter une tout antre complication. Des oscillations ducs aux chocs contre les rugosités des parois, des mouvements h double courbure produits par des impulsions obliques, des tourbillonnements élémentaires plus ou moins réguliers y viennent jouer leur r61e. Nous avons reconnu notamment (n* 60) l'importance de ces derniers, au point de vue de la destruction de force vive qui est synonyme de l'expression de frottement. On peut se reporter, à cet égard, aux développements donnés par M. de Saint- Venant snr ce point très important et encore si obscur ()lêmoire sur l'hydrodynamique des cours d'eau. Compta rtHduê de F Académie des «ctencM, LXXIX, n* 6), ainsi qu'à ceux qui ont été présentés par M. le colonel Doileau (Notions nouvelles d^ hydraulique, p. 4). Cet habile hydrauliden distingue nettement (Ibidem, p. 66} les mouvements translatoires, seuls utilisés pour (aire passer un certain débit d'une section à une autre, des mouvements intestins, qui sont au contraire nuisibles, comme absorbant inutilement une partie du travail moteur. H. Bazin donne, sur ce sujet, d'intéressants développements {Recherches expérimentales, etc., p. 23). H. Boussinesq (Essai théorique, etc.. Comptes rendus de

Au milieu de cette variation, Ton distingue une vitesse moyenne u, définie par l'équation :

(56) Q = au.

Elle est, par conséquent, le quotient de la dépense par la section. Cette relation est identique, pour sa forme, à l'équation de continuité (éq. 5) ; mais il y a, au fond, une difiercnce importante. Cette dernière, en effet, exprime un théorème relatif au cas du parallélisme des tranches, tandis que Tégalité (36) constitue uniquement, pour un mode de mouvement dans lequel ce parallélisme ne s'observe pas, la définition arbitraire d'une quantité u destinée à donner une idée simple du résultat de cet écoulement.

En résumé, il résulte des trois lois précédentes que la résistance Pi/, développée sur un tronçon de longueur /, peut être exprimée par la formule :

R/ = uxlo (u) ,

dans laquelle nous mettons en évidence, en vue de simplifications ultérieures, le poids spécifique cr, en désignant par 9 une fonction convenablement choisie, mais provisoirement inconnue. Il vient,

V Académie des iciencet, LXXI, 389) a, le premier, étudié analytiqaement l'écoalement, en tenant compte des tourbillons qui se détachent continuellement des parois, pour cheminer avec la niasse liquide. Il a introduit, à cet égard, la considération très importante de la moyenne locale des valeurs que prend, en un même point, la vitesse, dans un temps assez court.

A la variation que subit la vitesse avec la distance à l'axe, il semble s'en ajouter une autre qui serait fonction du temps. N. le colonel Doileau développe en effet {Xolioru nouvellee d'hydraulique^ p. il) la proposition suivante : Dans un courant fluide en contact avec des parois, les vitesses de translation sont périodiques. L'auteur fait remarquer que les joncs dans les rivières, les herbes, les moissons sous l'action du vent, au lieu de se tenir courbés dans une situation d'équilibre, sont très souvent animés d'un mouvement oscillatoire. Ces fluctuations continuelles avaient été signalées également par M. Baumgarten dans le lit de la Garonne [Annales de$ Ponts et chaussées^ 1847). Ce phénomène est désigné par les ingénieurs américains sous le nom de pouU des rivières. Ramazzini avait déjà remarqué, en 1691, les oscillations d'un cours d'eau en aval d'un coude brusque (De fonlium Mutinensium admiranda scaturigine iractaiut physico-hydrottaticuSf in--4*, Nodène. — De Galigny. Recherches théoriques et expertmentales sur les oscillations de Peau, 1883, t. I, p. 132). Rappelons enUn, dans cet ordre d'idées, les observations de Savart (n* 39) sur les oscillations provoquées par le passage de l'eau à travers un orifice en mince paroi.

par conséquent, pour la résistance par unité de longueur :

(57) R = CTx?M-

7!C — Différentes formes ont été proposées pour la fonction ç . Il n'y a pas lieu, d'ailleurs, de s'étonner de cette multiplicité ; puisque la détermination empirique d'une fonction, d'après l'observation d'un nombre limité de valeurs, peut toujours se concevoir d'une infinité de manières.

La première forme :

(58) o(u) z= au + Ju*,

est due à Coulomb (*). Elle a été adoptée également par de Prony (*) cl d'autres expérimentateurs (*), avec les coefficients suivants :

a = 0, 000 017 331 4 b = 0, 000 348 259 De Prony. 0, 000 018 840 0 0, 000 342 500 Daubuisson.

0, 000 022 358 0 0, 000 280 320 Evtelwein.

De Chezy avait proposé, dès 1775, la formule monôme (^) :

(') Mémoire sur des eipériences destinées à déterminer la cohérence des fluides et les lois de leur résistance dans les mouTeraents très lents {Mémoires de Clnslitut, III, 179S).

(*} À l'aide de 51 expériences, dont 7 de Couplet, 26 de Bossut, 18 de du Buat (De Prony. Recherchée phyeico-expérimentales sur la théorie des eaux courantes, 1804), N. Léon Lalanne a réduit en tableau graphique la formule de de Prony (Supplément de Coosinery aux tables de Genieys. — Annales des Ponts et chaussées^ 1866).

(*) De Prony a négligé, dans la détermination de ses coefficients, la hauteur due à la vitesse qui est créée dans le tuyau. Daubuisson en a tenu compte. Eytelwein a eu égard, en outre, à l'effet d'ajutage qui se produit à l'insertion du tuyau dans la paroi du réservoir, lorsque celle-ci n'est pas parfaitement évasée.

\f) On voitf^n effet, que pour les valeurs de u voisines de l'unité, le premier terme de l'expression (38) est beaucoup plus petit que le second. Cependant, pour de très faibles vitesses, telles que celles de récouicment à travers des tubes capillaires, c'est précisément rioTerse qui se produit, et le premier terme qu'il conviendrait de conserver seul, eu faisant abstraction du second (Expériences du docteur Poiseuille sur l'écoulement dans les tuyaux capillaires. Recueil des mémoires présentés par divers savants à Vins- Utul, t. VIII et IX. — Boussinesq. Théorie des phénomènes constatés par les expériences

114 IIYDRÂUUQUË.

pour laquelle divers auteurs ont indiqué les valeurs suivantes (') :

B = 0, 000 356 68i Eytelwein.

0, 000 585 500 Dupuit.

0, 000 362 400 De Saint- Venant.

M. de Saint- Venant a fait remarquer (') que Futilité que présente, pour le calcul logarithmique, la forme monôme Bu', appartient également au type plus général :

(40) y (m) = Xu\

qui a l'avantage de renfermer un paramèti*e arbitraire de plus, pour se plier à la représentation des observations. Il a indiqué, pour cette formule, les valeurs numériques :

Enfin Darcy a reconnu (^) qu'il était impossible, pour dçs mesures

de H. Poiseuille. Comptes rendus de V Académie des sciences^ l*' juillet 1867, p. 46. — Rapport de Arago, Babinet, Piobert et Regnault. Comptes rendus de C Académie des sciences, XV, 1167. — De Caligny. Expériences sur les phénomènes du frottement de Teau dans des tubes de petit diamètre. Journal de mathématiques pures et appliquées^ 1850, p. 169. — De Caligny. Becherckes théoriques et expérimentales sur les oscillations de Veau, I, 570).

M. Bornemann a même proposé Texpression

f (tt) = a'u * A' M*,

ou, plus simplement :

pour tenir compte des particularités que présentent les petites vitesses (Jourtial central polytechniques 1845, 19* cahier. — Allgemeitie Bauzeitung de H. Forster, 1852» p. 153).

(') Eytelwein. Recherches sur le mouvement de l'eau (Annales des mines, 1825« t. XI). — Madault de BufTon, d'après Tadini {Traité des irrigations). — Oenieys. Besai sur Fart de conduire les eaux» — Dupuit. Ktttdes sur le mouvement des eaux cou* tantes, 1848; — Courtois. Traité des moteurs, t. U, article 90.

[*) De Salnt-Yeuant. Sur un mode d'interpolation applicable au mouvement des eaux (Comptes rendus de r Académie des sciences, XYH, 1108. — Annales des mines ^ 4" série, t. XX, p. 185). — Du Buat avait déjà remarqué que les résistances sont en moindre raison que les carrés des vitesses (Principes d'hydraulique, art. t27).

(^) Au moyen de 198 expériences exécutées par lui (Darcy. Du mouvetnent de l'eau

TUYAUX. lis

délicates, de faire abstraction des dimensions de la section. Les coefBcienls de la formule de De Prony (éq. 38) :

f (u) = «jU -f- b{U^y

deviennent alors des fonctions du diamètre D du tuyau (supposé circulaire) sous la forme :

Si l'on emploie, au contraire, le type monôme (39) :

9 (tt) = B,tt»,

il convient, dans le même ordre d'idées, d'adoptei la valeur :