NATURE DES TERRAINS
VITESSE laTENNE
VITESSE DE FONO
rres détrempées
files
jviers
illoux
lires cassées
udingues, schistes tendres ,
ches stratiliëes
ches dures .
pente t reste ordinairement inconnue. Cependant, si l'incli- )n de la droite qui joint les points extrêmes est tellement faible
devienne insignifiant de réaliser sur elle des économies, incaîs, par leur peu d'importance, de servir à la création de chutes •ices, on pourra employer cette pente telle qu'elle est à la créa-
de la vitesse, pourvu qu'elle ne détermine pas un régime toriel. Sans tes autres cas, on cherche au contraire à restreindre : inclinaison au strict nécessaire, afin de conserver, au point rivée, la plus grande charge possible.
U notion de celle vitesse-limite permet de coinpieadre que, loulcs choses égales lurs, Il pente d'un cours d'esu naturel a tendance i diminuer, au fur et à mesure [^Coit des afTIuenls. En elTcl, si un lori'eul s'est créé i lui-ni£nie son lit par \a\e uillement. ce phénomène a dil s'arrêter seulement lorsque la section est devenin? que la vitesse correspondante soit descendue au-dessous de la limite de corro- A ce moment f («), et par suite — (éq. 00} ont pris une valeur déterminée. Or. irs d'eau venant à recevoir un nouvel afDuenI, son débit augmente, et, pour que
-ci puisse s'écouler avec la même vi à-dire que t diminue.
», il faut que le
n moyen -augmente.
— Il reste encore à examiner le rôle des deux éléments Û et x de la section. La forme de cette dernière est arbitraire a priori. On peut remarquer, en ce qui concerne son choix, que les facteurs Q
et X n'interviennent que par leur'rapport ^, auquel la pente reste
proportionnelle (éq. 60). On a donc intérêt, pour économiser cette dernière, à déterminer le profil qui réduira ce rapport autant que possible, c'est-à-dire la courbe qui présentera, à égalité de surface, le minimum de périmètre, ou bien , à égalité de contour, l'aire maxima. On se trouve ramené par là au problème des isopéinmètres ^ mais toutefois avec une modification spéciale ; car une partie seulement de la circonférence est ici représentée par /, à savoir le périmètre mouillé. Quant à la droite fournie par la surface liquide, elle n'y figure pas.
Or, il est facile de ramener cette recherche aux conditions ordinaires. Si, en effet, nous ajoutons à la section inconnue ABC du courant (fig. 48) le tracé AB'C qui en est symétrique par rapport au plan d'eau x\C, nous constituerons
une figure fermée ABCB'A présen- ^ — ^^
tant une aire double, et un péri- y^ >v
mètre complet double du périme- y^ \
tre mouillé de la précédente. Le n. /
l'apport de la circonférence à la ^^^^^ y
surface est donc le même pour les — --*j — ^
deux cas, et il suffit de le rendre
. . Fig. 48.
mmimum dans ces nouvelles conditions. Or la géométrie enseigne, à cet égard, que la courbe qui renferme l'aire maxima sous un périmètre donné est le cercle. Le demi-cercle formera donc la section la plus avantageuse que Ton puisse théoriquement donner à un canal.
Malheureusement ce résultat ne se prête à aucune des exigences de la pratique. H s'éloigne, d'une part, complètement des formes de la batellerie. En outre, les tangentes verticales des extrémités ne sauraient servir à maintenir des terres mouillées. On ne pourrait donc tout au plus s'inspirer de la forme hémi-circulaire que pour des canaux d'amenée sur les moteurs hydrauliques, établis,
HYDMUUQUIi:.
non en terre, mais en maçonnerie, en excluant ceux de la navigation. Dans ces conditions ^ en effet, on peut remarquer que certaines cunettes d'égout présentent des profils courbes (fig. 47), qui rappellent, quoique de bien loin, cette dernière forme. Mais, en fait, on s'en tient presque toujours, dans la pratique courante, à celle
du trapèze isocèle, qui est représentée par la figure 49.
f 00 — Le fruit cl que Ton donne alors aux deux berges est indiqué d'avance, soit par le talus naturel que prennent les terres au contact de l'eau, soit par les formes usitées dans la batellerie, si la raideur permise par ce talus naturel reste surabondante. La torgeur au plafond X, la profondeur A, peuvent aussi être empruntées aux convenances de la navigation. Mais il convient également de reprendre, à ce nouveau point de vue, la question précédente, en cherchant à déterminer, parmi les trapèzes isocèles d'angle donné,
celui qui présente le maximum du rayon moyen - (*).
Ai
Les bases du trapèze étant X et X -f- 2 A tang a, on aura (*) :
n = A (X 4- A tang «) ,
ces a
Si Ton suppose l'une de ces quantités constante, en considérant l'autre comme un minimum ou un maximum, on aura, dans les deux cas :
rfn = 0 , dx = ^y
(*) Ce problème a été résolu |Mir Daubuisson {Traité d'hydraulique, p. 138). Dupuit ti*aite de inême les cas où l'on se donne a priori la largeur ou la profondeur, au lieu de l'inclinaison {Traité de la conduite et de la distribution dee eaux, p. 153).
(*) Il a été dressé une table numérique pour faciliter le calcul numérique des deux expressions Ù eix* ainsi que de leur rapport qui exprime le rayon moyen (Collignon, Traité de mécanique appliquée aux comfruetions, H, 507).
OU, en développant :
hdk -f • XrfA -f- 2A tang od/i = 0 ,
ces a
On en déduit, en égalant ensemble les deux valeurs de -ir :
h tang a
2 ces a
résultat qui montre que la demùlargeur du plan d'eau doit être égale au talus.
On peut également donner à cet énoncé une forme plus simple. En effet, les triangles rectangles OAP, BÂQ sont égaux, puisqu'ils ont un angle commun A et des hypoténuses égales , d'après ce qui précède. Il s'ensuit :
OP = BQ = OR.
Le talus et le plafond se trouvent donc à la même distance du milieu de la surface libre, et par suite le meilleur trapèze est circon^ scriptible à un cercle. Cette condition en détermine complètement la forme, car il suffira de mener à un demi-cercle deux tangentes faisant avec le diamètre l'angle a, et une troisième, parallèle à ce diamètre.
Si, par exemple, on emploie la maçonnerie avec des parements verticaux, le meilleur rectangle sera la moitié d'un carré.
lOi — Premier exemple. — On demande quelle pente on devra donner, dans une mine, à une galerie d'écoulement de 1",75 de largeur sur 0",75 de profondeur, pour la mettre en état de débiter, en 24 heures^ un entretien d'eau de 20 000 mètres cubes. 11 vient alors :
X = 1,75 -+- 2 X 0,75 s= 3«,250 a = 1,75 X 0,75 = lta«,512;
HVDRAULIODE.
it par seconde a pour valeur :
' suite, la vitesse moyenne :
Q 0.251 " = û = îîiï = » •'"■
l donc, en employant la formule monôme (n° 97) : V , 3,250
it que cette inclinaison théorique est absolument minime, et rient appréciable que sur de grandes longueurs. A un kilo- , elle ne détermine qu'un abaissement de trois centimètres.
B — Second exemple. — On demande quelle pente l'on doit r au canal d'amenée d'une usine hydraulique qui, sur irgeur de ^",00 et une pmfondeur de 1",00, doit débiter ' par seconde, a, dans ce cas :
ur la vitesse moyenne :
)nséquent, pour la pente :
i-dire un cinquième de millimèti'e par mètre.
mÊfilHE VABIE
108 — Théorie générale. — Supposons maintenant la vitesse variable d'une section à l'autre {'). Comme le débit reste constant dans l'équation (36, p. 112), il s'ensuit une variation corrélative de la section Q du courant, et notamment de la profondeur d'eau h. Nous admettons toutefois qu'il règne dans ces changements une assez grande continuité et une lenteur suffisante, pour que l'on puisse encore raisonner, à titre approximatif, comme avec le parallélisme des tranches, c'cst-à-dîre appliquer h l'ensemble du cours d'eau le théorème de Berooulli, en même temps que le régime hydrostatique à chacune de ses tranches.
La charge, de l'une à l'autre de ces dernières, s'évaluera donc encore comme ci-dessus {n* 96), à l'aide p| ^
de l'abaissement du plan
d'eau, mais non plus d'après celui du plafond, car la profondeur a cessé d'être constante. Nous introduirons, à cet efTet, des cotes ietcendanies i] comptées au-dessous d'un certain plan de comparaison supérieur (fig. 50).
Si nous appliquons à un tronçon infiniment court le théorème de Bemoulli (éq. H, p. 30), la charge entre ses sections extrêmes sera
dr,. La perte de charge due à la viscosité deviendra -^ ds, et enfin
(*) Bélanger. Eaai tur la 4otulion numiriqae de quetqvet problème» relalifi au meutemenl penaaneiil da eaux couranlet, 18Î8. — l'oncclet. Court de mécanique fail i rÉcole d'artillerit; de Hctz, ]H2S. — Salul-Guillicrn. Mémoirea de l'Académie de» KÙnctide Touloute. 1854 et 1856. — Vauthier. Aiinalee de> PoiiU et eliatatiei, ]83l>. — Coriolis. Annales da PonU et ckauttéei. 1830. — De Saint-Venant. Sur des fornsksitouTelleapourla solution des pi-obJénies rein I ifs aui eaux courantes [Annaltide» ■tua. 4* série, t. XI. p. 100;. — Boudin. Sur l'axe tiydi'autli|uc des court d'eau coqleous dans un lit prismatique i,Aimalrt de* travaux publics de Belgique, XX)i. Il
premier membre, la différentielle — de la hauise ^. Il viendra ainsi (') ;
vdu , R ^
= dti dt.
g ma
détaal de rigueur du raisonnement ainsi iiasé sur i'iiypothèae ocbcs, avec une vitesse « commune à loul le système, Poncelet fflbre d'un coedicienl de correction k, en écrirant ;
fuet, 183!). Ce coenicient, suppo&£ constant, provient de 11 subs forces vives individuelles de cliaque filet {qui sont proportionet au carré u' de la vitesse), c'esl-i-dire Zuv^, de la Torce vire
ésente donc le rapport :
eria dclermlnation eiacie, il faudrait évidemment posséder laloi ie dam tes divers filets qui constituent le cours d'eau. Or c'est eine él)auc]iëe aujourd'hui (n° 114). Nous nous conlenlerons, h K Psaeelel, que ce coeHlcient est nécessairement Bupèrieur à
I vitesse relative du filet pai'rapport à un sjstémcde comparaison tesse moyenne u. tly aura, d'après cela, parmi les quantités», des ■très négatives. On tire de là, en multipliant par «et intégnot:
vitesse moyenne {iq. 30) réduit ainsi celle égalité :
, en élevant au cube la valeur de la vllcssci et en lyaiit égard les:
Chv* = au' + Su'Haui + 5aEHiD* + cv* = ou' + y [.m' 13k + «■)] = au' -f £[~ic"«u-i- r)].
enfertnc plus aciuelloment que des quantités eseentielloment
EnD» > ûm",
Canaux. 163
Cette relation détermine implicitement la forme de la surface libre, quand on se trouve suffisamment renseigné sur la section Q. En eifet, cette connaissance permet de chasser la vitesse à Taide de la formule (36), et Ton obtient ainsi une équation différentielle entre la profondeur h et l'arc*. Effectuons ces transformations.
104 — L'égalité (36) peut se mettre sous la forme : et donne, par sa différentiation :
udu = — — du.
Pour que la section soit analytiquement définie, il faudra que Ton possède, entre x et A, les équations des deux profils qui la limitent de chaque côté (fig 51) :
^1 = /!(&). ^% = ft(f^)'
La largeur du plan d'eau :
c'est-à-dire finalemeat :
Coriolis a évalué ce rapport à 1,16. Vautbier le faisait yarler de 1,03 à 1,10. Bélanger estimait que l'on peut prendre « =3 1,1 (Hydraulique^ lithographie, 1841-42, p. 75) IL Bazin rattache ce coefficient à celui B| qu'il a doimé pour la résistance (n? 07) :
« s< 1 + SIOB«.
H. Boussinesq a remplacé a par une autre expression plus compliquée, pour le cas où la Section Tarie iHrogressiyement (Sur le mouvement permanent varié de l'eau dans les tuyaux de conduite et les canaux découverts. Comptes rendus de V Académie des scUnat9,i. LXXni, p. 34 et 101).
En réalité on fait, la plupart du temps, abstraction de ce facteur dans les recherches d'hydraulique ; et c'est sur ce terrain simpliBé que nous nous placerons pour la suite de ces calculs, en supprimant dés à présent ce coefficient de correction»
s cela, uoe fonclion connue de h. On aura d'ailleurs : da = xdk,
indra, par une intégration, la valeur de Q en fonction idra ainsi définitivement :
ui permettra de remplacer udu en fonction de h et dk.
icher de même la variable i; à la profondeur A, nous le triangle rectangle formé par le fond et l'horizonlale
ids = (/(o-f-A),
rfu = idi — dh.
fin à remplacer la résistance R par son expression (37) .
aNADX. 165
Si Ton effectue toutes maintenant ces substitutions, l'équation de BemouUi devient :
On en tire, en séparant les variables :
et il ne reste plus qu'à intégrer, dans chaque cas, cette expression.
105 — Canal rectangulaire, — Supposons, pour fixer les idées sur le cas le plus simple, un chenal rectangulaire de largeur / assez grande pour que l'on puisse négliger devant elle la profondeur, et confondre / avec x» dont la valeur rigoureuse serait sans cela /-I-2A.
:c = l, a = lh. -^=1.
Nous adopterons, pour la résistance, la formule monôme Bu* (n*97), et il viendra ainsi :
th'* ;
Si nous appelons H la profondeur qui permettrait de réaliser, dans les mêmes conditions, le régime uniforme, elle sera fournie par l'équation (60) :
d*où l'on déduit :
ce qui permet d'écrire plus simplement :
En appelant z le rapport des profondeurs relatives à ces deux régimes :
on aura donc :
Intégrons à partir de la section qui a été prise pour origine des distances «, en appelant h^ la profondeur en ce point. Il viendra par là :
C04, 4.=,,h-(,-tL)/;^.
On trouve, en suivant la méthode classique de l'intégration des fractions rationnelles, et introduisant les logarithmes népériens (') :
/dz 1 r [z — iy 1 I /2x-i-l\
T^TT = 7 '^"^ L^^^^^^J " vr "''"^ Kir-}
(*) L'é(}iiatioii du régime varié des eaux courantes a été intégrée pour la première fois par Dupuit, en supposant la section rectangulaire (Éluda Ihéariquei et pratiques mut le mouvement des eavx courantes). Bresse a dressé une table numérique destinée à faci-
§5 •ISCnSSION BB LA F*»HE llll PBOFIL LIQUIDE
10« — Je ferai remarquer tout d'abord que les branches infinies que présente la courbe, admettront nécessairement comme asymptotes, soit la droite de régime uniforme, soit des horizontales. En effet, si le profil ne tend pas vers une parallèle au fond du lit, la profondeur arrivera, pour toute autre asymptote, à croître au delà de toutes limites, et le mouvement se ralentira indéfiniment. On aura ainsi une masse sensiblement stagnante, dont la forme ne peut être qu'infiniment rapprochée de l'horizontale.
Remarquons toutefois que, dans l'hypothèse de la droite de régime uniforme, il y a bien encore équilibre, mais avec l'adjonction des résistances, ce qui modifie la surface libre et la transforme en un plan incliné parallèle au fond. On comprend donc que le régime varié puisse encore tendre vers ce dernier état de choses , c'est-à-dire que la courbe admette également comme asymptote la droite de régime uniforme.
L'équation (63) indique d'ailleurs ces diverses circonstances. On peut d'abord la metti-e sous la forme :
liter l'application de la Tormule (Court de mécanique appliquée, l. Il, p. 331 et 470). Li ronction ^ [:) que rournît cette table reproduil, aprèi qu'on lui a ajouté la conilanle
—p et que Fon a changé le ligne du rétullal, l'eipression (65). Hais dans l'inlégrale défiais la eonslante —j^ disparaît, et l'innuence du si^e revient aa renversement
dei limitea. On a dooe, pour l'éipiaiion du pralil de l'eau, en employant la fonction de Brene:
I. de Sainl-Venanl a envisagé de mfme des sections trapézoïdales, et construit également des tables numériques cieslinécs ùabi-éger tes calculs relalift Ù ce i:aa(Annate* Jet Mi'nM, 4* série, L lit, p. TXIï ù 318, et 337 â 338].
llYDRAnLIQUE,
inatt ainsi que, tandis que le numérateur s'annule pour la i — H, qui correspond au mouvement uniforme, le dénor s'annule de son côté pour h =:z H', si H' désigne la valeur
iivons, d'après cela, écrire plus simplement :
ces conditions, on voit que, pour A = H, il vient j- = 0,
îpréscnte une direction parallèle au fond du lit. Pour A = oo,
T- = I, ce qui indique un angle alterne-interne avec l'in-
a du fond (fig. 50), c'est-à-dire une horizontale.
rme de la courbe dépendra évidemment des grandeurs rela-
HetH', ou de la valeur du rapport jy-. Nous distinguerons,
[ard, deux cas généraux, suivant que cette fraction sera re ou supérieure à l'unité.
— Considérons, en premier tieu, l'hypothèse des faibles
eu d'envisager, dans la courbe, trois zones, respectivement par deux droites que nous mènerons parallèlement au lit. itanccs du fond marquées par II et H' (lig. 52).
1* Attachons-nous d'abord aux plus grandes profondeurs h :
c'est-à-dire à la portion de courbe située au-dessus de la droite H^H,.
j- étant positif, h est incessamment croissant. Ce n*est donc pas
vers la droite H, que peut tendre le tracé ; par conséquent c'est (n* 106) vers une horizontale, que je représenterai par A,. Quant à
IH' a^ - :*-.:r^,>^ — ^^ — a»
Fig. 52.
Tasymptote H^, c'est vers l'amont que le profil s'en rapprochera. En effet, pour 2 = 1, l'équation (04, 65) donne s = — 00, en de l'inégalité (68).
Telle est la forme la plus ordinaire des cours d'eau, quand ils abandonnent le régime uniforme. Elle se trouve représentée par la figure 53.
^ Envisageons, en second lieu, la zone intermédiaire :
c^est-à-dire la branche de courbe H^H' (fig. 52). La dérivée y- a
470 HÏDRAUUQUE.
changé de signe en passant par zéro; elle est devenue négative. h décroît donc à partir de l'asymptote d'amont II,, ce qui constitue un remou$ d'abaiisement. Mais, pour h = H', le dénominateur
Fis- S3,
s'annule, et la courbe rencontre normalement, au point H', la droite Il/H,'.
Cette forme d'écoulement a, en elîcl, été observée. La surface devenant sensiblement verticale, on voit, en quelque sorte, le courant liquide s'écrouler. Le parallélisme des tranches se trouve com-
Fig. 51. — Ressaut d'abiissemcût des eipériences de M. Baiia.
plètement disloqué, et l'équation des forces vives qui supposait, au moins par approximation, l'existence de ce parallélisme, n'est plus nullement fondée pour permettre de franchir ce point singulier du
CiNAUX. 474
phénomène. II y a discontinuité dans le mouvement, et uh régime distinct succédera au précédent. Cet accident porte le nom de res-, satU d'abaissement. H. Bazin a réussi à le réaliser (fig. 54), au moyen d*un brusque approfondissement du lit (').
5* Arrivons enfin à l'hypothèse :
c'est-à-dire à l'arc H' a, (fig. 52). Le tracé part normalement de sa rencontre avec la droite H/ H/, et tend vers une asymptote horizon-
taie a^a^. En effet -r- , qui a changé de signe en passant par l'infini,
est redevenu positif. On voit donc que A croît d'amont en aval, ou, end autres termes^ qu'il décroit quand nous suivons, par la pensée, la courbe d'aval en amont. La profondeur ne pouvant d'ailleurs admettre d'autre limite finie que H, diminue sans cesse jusqu'à rinfini négatif; le second membre de l'équation (67) converge vers
l'unité, et t- tend vers t, ce qui indique l'asymptote horizontale.
Cette branche coupera nécessairement, d'après cela, en un certain point 0, le fond du lit 0,0, pour passer par-dessous; la profondeur s'annule, la vitesse devient infinie. Toutes ces circonstances s'opposent donc à la réalisation effective de cette partie de la solution analytique.
t08 — Passons maintenant au second cas général, celui des grandes inclinaisons (') :
i>hg, H'>H.
(■) Reeherehe* hydrauliques, etc., série 81, expérience 2, planche XXV. {*j Pour le cas intermédiaire :
T = Bg, on obtient (éq. 66) :
dh
c'est-à-dire la droite horizontale qui a pour équation :
C'est alors du côté d*aval que la droite H, H, sera asymptote (Og. 55), car, en raison de la nouvelle inégalité, Téquation (64,65) donne maintenant « = h- oo pour 2 = 1.
Fig. 55.
1" Supposons en premier lieu :
ce qui correspond à la branche H' A,. Cette courbe rencontre normalement la droite H/ H,', puisque l'hypothèse A = H' annule le
flh
dénominateur. D'ailleurs, -r- étant positif, h s'accroît jusqu'à une
asymptote horizontale A^. C'est un remous d' exhaussement , mais il débute par un ressaut d* exhaussement.
Ce dernier genre de phénomènes, quoique très rare, se rencontre cependant plus fréquemment que le ressaut d'abaissement (^). Il a été
(') Nous venons de reconnaître qu'une condition essentielle de la possibilité du ressaut d'exhaussement est une pente suffisante :
observé pour la première fois par Bidone ('). 11 joue, dans ta théorie des récepteurs hydrauliques, un rôle d'une certaine importance sur
Fig. 56. — Rceuut d'eihautsement du pont de Crau.
lequel nous aurons l'occasion de revenir (n° HO). La figure 56
ou, d'ipfiG U Tsieur B = 0,0001 (n* 07) :
DiK ptale de 4 millimétrés serait donc, en pratique, un miiiiniuin nécessaire. Toutefois la nlear précédenie de B présente le dérout de ne tenir aucun compte de la nature dopwoii. Les coenicients variables donnés à cet égard par H. Bazin [d* 97] ont permis à cet habile ingénieur de dresser (Recheic/iei kydrattliqvet, p. 355} le tableau suivant des pente* minima relatiTes aux grandes profondeurs :
1' U9. ament lisse, bais raboté 0,00117
