LOIS EXPÉRIMEIVTALBS DES «AZ PARFAITS

258 — Relation-typique. — Nous adopterons comme une convention constante dans toute la thermodynamique, à moins que le contraire ne vienne à être expressément spécifié , que les raisonnements s'appliquent à l'unité de poids, c'est-à-dire à un kilogramme du corps considéré. Pour les applications industrielles, les quantités de chaleur, ainsi que les travaux correspondants, resteront évidemment proportionnels aux poids mis en jeu dans chaque cas.

La lettre v désignera essentiellement d'après cela le volume de l'unité de poids, ou volume spécifique de la substance considérée. Ce coefficient présente une relation très simple avec le poids spécifique ni, ou poids de l'unité de volume. En effet, le volume v pesant un kilogramme; 2, 3, ... volumes v pèseront 2, 5, ... kilogrammes. Le volume viv pèse donc vi kilogrammes. Mais le nombre xS définit précisément le poids de l'unité de volume ; on a par conséquent :

tu; = 1,

Si l'on considère, par exemple, l'air normal, c'est-à-dire pris à la température de la glace fondante sous la pression p^ qui cor-

respond à (r,76 de mercure, le mètre cube de ce fluide pèse : (5) uo = 1*^293.

U a par suite comme volume spécifique :

(fi) Vo = -^ = 0™%773.

Pour pouvoir évaluer à chaque instant le volume v qu'occupe un kilogramme d'un corps quelconque, il faut connaître, en môme temps que la pression p à laquelle il est soumis, sa température. Nous désignerons par 6 la température centigrade usuelle, c'est-àdire celle que fournit le thermomètre ordinaire, dont le zéro est déterminé par l'immersion dans la glace fondante. On conçoit d'ailleurs que les valeurs de ces deux éléments /) et 8 ne sauraient corres^ pondre au même volume v pour toutes les substances possibles. Chaque essence de matière présente à cet égard une corrélation qui lui est spéciale, entre la série de ses volumes spécifiques successifs» et les deux variables indépendantes/? et 8. En d'autres termes, chacun des corps de la nature est caractérisé par une relationtypique entre ces trois variables :

qui lui appartient en propre, et lui sert, en quelque sorte, de définition analytique. Le point de départ de toute recherche relative à une substance déterminée doit donc consister à se procurer cette relation.

A cet égard, on pourrait, pour l'étude que nous poursuivons, concevoir deux manières de procéder. Dans la première, on imaginerait arbitrairement diverses formes analytiques, considérées comme caractérisant des corps hypothétiques, et Ton pourrait déduire de ce pur exercice de calcul des propriétés plus ou moins curieuses, suivant l'habileté qui aurait présidé au choix des fonctions envisagées. Mais cette voie stérile ne saurait évidemment solliciter un esprit juste.

La marche vraiment efficace consistera, au contraire, à interroger la nature par la voie de Texpérience, au sujet des corps qu'elle nous présente comme les plus utiles en vue des appIicatioDs effectives ; et à constituer pour chacun d'eux, d'après l'observation directe, la relation-typique qui représente son allure spéciale au milieu des transformations thermiques. Nous avons donc à exposer tout d'abord ce qu'ont fait connaître à cet égard les recherches entreprises par les physiciens au sujet des gaz parfaits, sur lesquels est en ce moment concentrée notre étude.

2BB — Il nous suffira pour cela de rappeler ici les deux lois expérimentales qui portent les noms illustres de Mariette et de Gay-Lussac. Soumises, dans ces derniers temps, au contrôle le plus minutieux (') pour un certain nombre de fluides, elles ont accusé certains écarts qui vont en s'atténuant progressivement, au fur et à mesure que l'on s'éloigne du point de liquéfaction (*). Elles peuvent donc être considérées comme formulant l'état asymptolique que nous désignons sous le nom de gaz parfait.

Ces deux lois expriment les formes simples que revêt la relationtypique cherchée, dans les deux cas spéciaux où, parmi les deux variables indépendantes 8 et p auxquelles nous rapportons par la pensée l'expression de v, on ne laisse varier chaque fois qu'une seule d'entre elles, en maintenant la seconde constante.

La loi de Mariette est relative au cas où la pression seule se modifie, la température restant la même. Dans ces circonstances, le volume varie en raison inverse de la pression :

pv = PiVj.

La valeur constante du produit de ces deux variables dépend, pour chaque expérience, des conditions initiales arbitraires/),, «,.

La loi de Gay-Lussac se rapporte au cas où la température seule varie, la pression étant maintenue constante. Dans ces conditions,

(•) Regnault. Mémoires de V Académie des sciences, t. XXI, p. 426. (•) L'hydrogène présente ,*^et égard, par rapport aux auties gaz, un renTcrseiûcnt de sens fort curieux, qui a fait dire quelquefois que c'était un gaz plus que parfait.

le gaz te dilate proporlionneUement à P accroissement de temperalure. On pcui formuler cet énoncé de la manière suivante :

cil désignant par a le coefficient de dilatation, c'est-à-dire l'accroissemenl proportionnel de volume qu'éprouve le corps pour une élévation de température égale à un degré centigrade.

In complément essentiel de cette loi consiste en ce que te coefficient de dilalation est le même pour tous les gaz parfaits. Cette valeur caractéristique constitue donc une des constantes générales de la nature. Elle a été trouvée égale à :

(7) « = o,oor>67 = ~-

Z9Ù — A l'aide de ces deu\ lois, nous pouvons constituer dans toute sa généralité la relation-typique relative aux gaz parfaits.

Concevons à cet cfîet un kilogramme de gaz normal, pris h la It'rapérature de la glace fondante et à la pression normale p,. Nous désignerons son volume spécifique par v,. Nous le portons (sans changer sa température, qui reste égale à celle de la glace fondante) à une pression quelconque p; d'où résulte pour le corps un cerlaiii volume transitoire V. Cette transformation étant régie par la loi de Mnriotle, nous obtiendrons V à l'aide de la relation :

pV = ;,.(.,.

Dans une seconde partie de l'expérience, nous maintenons coii- >tant(; la pression p qui vient d'être atteinte, et nous élevons la lempéi'ature à partir de celle de la glace fondante jusqu'à 0- La lot de Gay-Lussac nous fournit avec ces nouvelles conditions :

Pour éliminer maintenant l'inconnue auxiliaire V, il sufGl de multiplier membi-e à membre les deux relations précédentes, ce qui fournil l'équation cherchée :

î86t — On peut la simplifier, avec Clapeyron, en commençaiil par la mettre sous la forme :

pv = ap,v, u -f. - y

Nous poserons maintenant :

(8) R = ap^Vo,

et (7) :

Il vient ainsi (*) :

(10) pv = m.

Telle est V équation-typique des gaz parfaits (') . La nouvelle variable t qui vient prendre, dans nos calculs, la

(*) L'équation :

~- = Const. = R = olPqVq,

comporte une certaine gfénéralisation (Hirsch. Annales des Ponts et chaussées, 5* série, t. VII, p. 465). On peut retendre au cas où une masse déterminée de gaz vient à prendre, dans ses diverses parties, différentes pressions et difTérentes températures. Remai'quons d'abord que le poids qui se trouvait, dans les raisonnements précédents, fixé à l'unité, peut, dans cette formule, être laissé quelconque par la pensée, puisque les deux volumes v et Vq augmentent alors ensemble proportiomiellement, en devenant VetVo:

En second lieu, si l'on applique séparément cette relation à chacune des pallies homogènes dans lesquelles se décompose la masse totale, il viendra, en ajoutant membre à membre les égalités ainsi obtenues :

2^ =2apoVo=a/'o 2Yo,

2Vo désignant le volume total initial. On peut donc écrire d'une manière générale :

2^ = Const.,

pour l'ensemble des diverses parties homogènes Y, quelque petites et nombi*euî>05 qu'elles puissent devenir dans une masse quelconque de gaz. (*] A cette forme explicite correspond cette équation difféi^entielle ti*ès simple :

dt dp.fjt

place de la température usuelle 0, porte le nom de température absolue. Elle reste centigrade, comme la première, en ce sens que la valeur intrinsèque du degré n'a pas changé. Mais le numéro d'ordre qui lui correspond dorénavant dans l'échelle thermométrique n'est plus le môme. En d'autres termes, nous opérons un déplacement d'origine sur la graduation. Le zéro, qui correspondait jusqu'ici à la glace fondante, se trouve reporté à 273 divisions au-dessous. Ce nouveau point de départ des températures absolues porte lui-même le nom de zéro absolu (*).

La relation-typique (10) devient alors assez simple (*) pour pouvoir être énoncée comme un théorème, et l'on peut dire que, dans les gaz parfaits, la température absolue reste proportionnelle au produit de la pression par le volume (').

Le coefficient R de cette proportionnalité :

R = ap^v^ = Vo = 57,8608 v^,

varie, d*un gaz à Vautre, proportionnellement au volume spécifiqucy ou en raison inverse de la densité (éq. 4).

(') n sera bon de remarquer que cette conception reste ici d'ordre uniquement numérique, et dégagée de toute idée plus ou moins mystérieuse sur la nature de la tempénUire, la quantité de chaleur renfermée dans les corps, et le cas de nullité de ces deux éléments (voy. ci-dessus n" 387, note 1).

(*) Van der Waals en a donné une plus complexe pour les gaz éloignés d^ l'état (Kurfait.

M. Amagat, en revenant sur ces recherches, ainsi que sur celles de M. Clausius et de M. Korteweg relatives au même siget, présente de son côté une formule nouvelle A cet égard [Comptes rendus de l'Académie des sciences^ 27 mars 1882, p. 847).

On peut consulter également sur cette matière les ouvi*ages suivants, cites par V. Zeuner : Joule et Thomson. On the thermal cffects of fluid in motion. Philosophical Transactions, 1854. — Jochmann. Beitrâge zur Théorie der Gaze. Programme des\Kôlnisehen Realgymnasii, 1859. — Reye. Die mechanischc AVârmetheorie und das Spannungs gesetz der Gaze. Inaugural Dissertation^ Gôttingen, 1861. — Schroder van der Kolk. Ucbcr die Ahweichungen der wirklichen Gase vom Mariotte'schen Gesetz. Poggendorfs Annalen, 1862.

(') On peut imaginer un mode de représentation géométrique de tout l'ensemble des états que peut prendre un gaz parfait, en consti*uisant la relation (10) à l'aide de trois axes rectangulaires, sur lesquels on porterait les volumes en abscisses, les pressions en ordonnées horizontales, et les températures absolues en altitudes. On obticn ainsi l'équation d'un paraboloïde gauche équilatére, rapporté à ses plans directeurs et au plan tangent au sommet, surface dont l'allure bien comme se prête à peindre d'un Nnil coup toutes les modalités dont est susceptible l'état d'un gaz parfait

402 TUERMODV-NAMIQUE.

Si par exemple on envisage, en particulier, l'air atmosphérique (*), il viendra, en substituant la valeur (6) de v^ :

!S6IS — Chaleurs spécifiques. — Les trois variablesp,!;,(, constituent les aspects essentiels qui définissent, dans Tétat actuel de nos connaissances, Vétat d'un corps. La relation-typique en règle toutes les allures possibles ; mais on n'y envisage nullement les causes capables de provoquer effectivement ces transformations.

Cette distinction n'est pas sans analogie avec celle qui sépare, dans le domaine de la mécanique, la cinématique de la dynamique. Cette dernière prend tout naturellement pour base Tétude géométrique préalable des circonstances du mouvement, mais elle a pour but essentiel d'y combiner la notion de la cause efficiente des effets ainsi analvsés, à savoir la force. La cause déterminante, dans les effets qui nous occupent actuellement, est la quantité de chaleur. De là une quatrième variable Q, qu'il y a lieu maintenant de rattacher aux précédentes.

On appelle chaleur spécifique d'un corps le rapport -^ de la quantité de chaleur qu'on lui communique pour produire une transformation élémentaire, à la variation de température qui en devient la conséquence. Il est toutefois indispensable d'ajouter que ce coefficient différentiel peut varier, non seulement d'un corps à l'autre, mais, pour une même substance, avec les circonstances qui caractérisent ses divers modes de transformation.

On pourrait ainsi concevoir, pour une môme matière, une série

(*) En faisant le même calcul pour l'hydrogène, on trouve :

M. Zeuner a été frappé de cette circonstance que le coefficient de celui de tous les corps qui se trouve placé au sommet de récheUe des gaz parfaits, se confond presque exactement avec la valeur 424 de l'équivalent mécanique de la clialeur. H suffirait, pour les identifier complètement, d'opérer une modification bien peu importante dans les chiffres donnés par Regnault ; et d'ailleurs l'hydrogène est encore un corp^ concret, qui ne réalise pas nécessairement l'état limite, rigoureusement conslilulif du gaz parfait (Zeuner. Théorie mécanique de ta chaleur, traduction de Cazin et Arnthal. p. 103, note].

iiidélitiiB de clialuui's spéciQques (') ; maïs il s'en fiiut de beauco que toutes présentent un égal intérêt ('). Il en est deux surtout i jouent dans les recherches un rôle capital, et auxquelles les phy ciens se sont attachés d'une manière spéciale. Ce sont celles po lesquelles on ne fait varier qu'une seule des deux variables im pendantes p et v. On les appelle chaleur spécifique à volume ce liant et chaleur spécifique à pression constanle. Nous désignera la première par c et la seconde par C.

En ce qui concerne les gaz parfaits, l'observation a permis d'é blir les deux lois suivantes :

i' Pour chaque gaz parfait, les chaleurs spécifiques à pressi ou à volume constant conservent des valeurs fixes. Les cocfUciei

diflerentiels -j- relatifs à ces deux genres d'expériences seront do

des constantes ('), tandis que l'on doit se les représenter en généri pour les autres substances, comme des fonctions plus ou moi complexes.

1° le rapport des deux chaleurs spécifiques de chacun des g parfaits est le même pour tous. Nous le désignerons par h, écrivant :

(12) C ^ kc.

Ct! nombre constitue donc, de même que a, une constante généra (le la nature. Sa détermination a été poursuivie par un grai nombre d'expérimentateurs ('). On admet ordinairement la valeui

(') Celle indétciiiiiiialLon ii'ufTi'e l'icii que Je 1res naturel. On posEétIe en cITet de innisns disiincls d'Échauffer un gnt, à savoir ; aa compression, et ta mise en rappi lire un corps chaud. Lorsque ecï deui procédés se trouvent employée simuttanémei il ilnimi impossible de faire dans le total, s'il est donné seul, la part de chacun d'ei [j ipuiililé de chaleur proprement dite JQ qui se Irouvc communiquée t ungaipendt Itléraiion dl de sa lempéralurc, est donc indéterminée a priori, ainsi par cons ipieni que le rsppoit — - de ces deui éléinetiis.

(^ Clausius. Sur la chaleur spécifique des gat. Annalrii drr Chemie, t. CXV.

I'; Cerltins cfHTeclirs se sont produits h cet égard, en ce qui concerne les tcmpéi lurtt trè« éleréM (n* 415).

": Voïei n- 304, note.

!S08 — Détermination de V équivalent mécanique de la chaleur. — Ces divers emprunts à Texpérience nous suffisent pour déterminer dès à présent la valeur numérique de l'équivalent mécanique de la chaleur E (^). Le postulatum que nous avons admis jusqu'à nouvel ordre (n** 252), consiste en ce que la valeur de ce coefficient reste invariable, quel que soit le mécanisme qui préside à la transformation de la chaleur en travail. Il nous suffira

(*) G. A. Hirn (Équivalent mécanique de la chaleur. Cosmos^ t. XYI, p. 315. — liecherches sur l'équivalent mécanique de la chaleur ^ 1858, Colinar). — Fayrc. Recherches sur l'équivalent mécanique de la chaleur. Comptes rendus de V Académie de* sciences^ t. XLVI, p. 537. — Despretz, Note relative à l'équivalent mécanique de b chaleur. Ibidem, t. LI, p. 496. — Pcrson. Note sur l'équivalent mécanique de la chaleur. Ibidem, t. XXXIX, p. 1131. — fiellanger. De Véquivalent mécanique de la chaleur. — Le Roux. Détermination de l'équivalent mécanique de la chaleur. Cosmos, t. XII, p. 314. — VioUe. Sur l'équivalent mécanique de la chaleur. Annales de chimie et de physique, 4* série, t. XXI, p. 64. Comptes rendus de V Académie des sciences, t. LXX, p. 1283; LXXI, p. 522. — Pei*ot. Sur la détermination de l'équivalent mécanique de la chaleur. Annales de chimie et de physique, 6* série, t. XIII, p. 145. Lumière électrique, t. XXIX, p. 78. Comptes rendus de V Académie des sciences, 15 juin 1886. — D'Ëstocquois. Note sur l'équivalent mécajiique de la chaleur. Ibidem, t. XLVI, p. 461. — Amagat Équivalent mécanique. Ibidem, t. LXXYII, p. 1527. — Dahlander. Sur une détermination de l'équivalent mécanique de la chaleur. Annales de chimie et de physique, 4" série, t. IV, p. 474. — Vellutini. Note sur l'équivalent mécanique de la chaleur. Bulletin de la Société des anciens Élèves des écoles d'arts et métiers, 1*' septembre 1876. — Détermination de l'équivalent mécanique de la chaleur. Lumière éleetrique, t. XVII, p. 543.

Joule. On the mechanical équivalent of heat. Philosophical Magazine, 3* série, t. XXXI, p. 173; XXXV, p. 535. Philosophical Transactions, 1850, 1. 1, p. 61. Annales de chimie et de physique, 3* série, t. XXXY, p. 121. Comptes rendus de l Académie des sciences, t. XXV, p. 309; XXVIII, p. 132; XL, p. 310. Annales de Poggendorf, 1854, t. IV, p. 601. — W. Thomson. On a methodof discovering expcrimentally Uie relation belween thc mechanical work spent and the heat produced. Edinburgh Transactions, 1851, t. XX. p. 289. Annales de chimie et de physique, Z* série, t. LXIV, p. 504. Journal de mathématiques pures et appliquées, 1852, p. 241. — Rankine. Note as to tlie dynamical équivalent of température. Edinburgh Transactions, t. XX, p. 191. — De Volson Wood. Thc mechanical équivalent ofheat. Scientifie American suppletnent, 26 mai 1888, p. 10331. Engineering Journal, t. LXII, p. 55. — Cowper and Anderson. Expcriments on llie mechanical équivalent ofheat. The Engineer, 9 septembre 1887, p. 213.

Kuppfer. Bemerkungen ûher das mechanische Aequivalent der Wfirme. Bulletin de la classe physico-mathématique de l Académie de Saint-Pétersbourg, t. X, p. 1^* — Clausius. Sur une détermination de l'équivalent mécanique de la chaleur. Les Monde*, t. YI, p. 423. — Von Quintus Icilius. Sur réchauffement, etc. Annales de chimie et de physique, t. LXXXIX, p. 377. — Société de physique de Berlin. Tableau des raleurs trouvées par différents expérimentateurs pour l'équivalent mécanique de la chaleur. Fortschritte der Physik im Jahre 1858, p. 351.

Pmvenzali. Sur Téquivalent mécanique de la chaleur. Atti delC Accademia pontifàa de Nuovi Lincei. t. XXV, 1871-72.

donc, pour en connaître la valeur, d'imaginer à cet égard le mode le plus simple.

Considérons à cet effet un kilogramme d'air normal pris sous le volume spécifique t;^=0,773 et la pression p^=iOZZ6. Nous le portons à la température usuelle ô au-dessus de la glace fondante, en maintenant constante sa tension p^. D'après la loi de Gay-Lussac, son volume devient v^ (In-aô). Il s'est donc dilaté de de la quantité av^O, en refoulant d'autant la pression p^ qui lui fait équilibre. De là un travail externe (5) qui a pour valeur av^O. p^ ; et par conséquent une dépense de chaleur :

Mais nous pouvons obtenir une seconde évaluation de cette dernière. En effet, la dilatation ayant lieu sous pression constante exige, pour chaque degré centigrade, la quantité de chaleur C, ou kc (12). Pour gagner 6 degrés, il a donc fallu fournir kcb calories. Or cette quantité de chaleur s'est répartie, comme toujours, en trois portions : en premier lieu, celle que réclame la production du travail externe destiné à refouler préalablement l'atmosphère, pour préparer l'emplacement qui permettra cette expansion ; et, en outre, celle qui est nécessaire pour élever de 6 degrés la température à volume constant, le fluide pouvant ensuite se répandre librement dans le nouvel espace sans rien perdre de sa température, puisque le troisième terme de cette répartition, à savoir le travail interne, est nul dans les gaz parfaits. Or l'élévation de température à volume constant a réclamé c6 calories. Si donc Ton retranche cette quantité du total précédent, il reste, pour subvenir au travail externe :

{k — 1) cO.

Egalons maintenant ces deux expressions. 11 viendra, en supprimant le facteur commun 6 :

De là une condition très importante qui relie les dilTérenis paramètres :

(14) R =:z (A — 1) cE,

et que nous appellerons la relation paramétrique (*).

Si Ton remet pour R et k les nombres (11) et (15), et pour la chaleur spécifique de Tair sous volume constant sa valeur :

il vient, en effectuant les calculs :

résultat très approché, comme on le voit, de celui que nous avons adopté en nombre rond : E=424.

(*) Cette équation a été donnée pour la première fois par M. Clausius [Premier mémoire sur la théorie mécanique de la chaleur, p. 44).