CHAPITRE XIV
8i FORMULE «ËNÉRALE
dB4L — Proposons-nous de déterminer la quantité de chaleur Q qui devra être fournie à un gaz parfait, pour Tamener d'un état initial (p,, v^ t^) à un état final (p,, v,, /,). Pendant cette évolution, les variables p, v, t n'ont pas cessé d'être reliées par l'équation typique (10) qui gouverne, en toutes circonstances, cette catégorie de fluides. Mais ce renseignement ne saurait suffire, si l'on n'y joignait, pour chaque cas particulier, la connaissance de la relation spéciale :
définissant le genre d'expérience que l'on veut exécuter (n* 254). Communiquons à un kilogramme de gaz la quantité élémentaire de chaleur dQ, et reprenons les raisonnements du numéro précédent. Cette provision de calorique se répartit en deux portions : 1** celle Xpdv qui correspond (i) à la production du travail externe destiné à refouler préalablement l'atmosphère ambiante, et à préparer remplacement dv qui permettra la dilatation du fluide; 2° celle qui est capable d'élever, à volume constant, 4a température au degré t-hdt; (la libre expansion de ce volume dans la nouvelle capacité qui lui est onerle ne consommant ensuite aucun travail interne pour les
408 TUERMODYNAMIQUE.
gaz parfaits). Celte seconde quantité sera cdt, et Ton aura pour le total :
(16) (IQ = ah + Aixiv, d'où, en intégrant entre les limites proposées :
(17) Q = c(f, -- Q -h A r*pdv.
Si Ton rapproche Tune de l'autre les équations différentielles (2) et (16), on obtient pour la valeur de l'accroissement de la chaleur interne :
(18) f/U = cdt, U, — U, -=^ c (f, — Q.
Dans chaque cas, on déduira des relations (10) et (15) deux des variables p, v, t en fonction de la troisième, et en substituant leur expression dans la formule générale (17), on n'aura plus qu'à effectuer l'intégration d'une fonction comme d'une seule variable.
!S65 — Nous pouvons même avancer ce calcul une fois pour toutes, en employant la relation typique (10) à faire disparaître l'une des trois variables. La seconde partie de l'élimination ne pourra ensuite être complétée que lorsque, dans chaque cas particulier, l'équation (15) aura revêtu une forme déterminée.
Cette opération peut d'ailleurs se faire de trois façons différentes, puisqu'il existe trois quantités que l'on peut chasser à volonté. Adoptons en premier lieu les variables p et r.
Nous tirons, à cet effet, de la relation typique (10) :
rf( = — (vdp -h pdv)y n
et, en substituant dans l'expression (16) :
z=z ^vdp -hl^-h A j pdv.
Mais on déduit de la relation paramétrique (14), en divisant ses deux membres par ER :
c'est-à-dire :
D Tient d'après cela :
c kc
Telle est l'équation différentielle de la chaleur dans les gaz parfaits. Si Ton remplace successivement dans cette expression v et dv^ p et dp au moyen de l'équation typique (10), on obtiendra de même, pour les deux autres systèmes de variables indépendantes, les expressions suivanles, moins souvent employées :
dQ = cdl -h AR - dv,
dQ = kcdi — AR - dp.
ItBB — Nous pouvons maintenant constater directement la nécessité de posséder, pour la solution du problème qui nous occupe, la relation spéciale (15) qui définit chaque expérience en particulier; et reconnaître que l'expression de dQ ne saurait être intégrée d'une manière générale en fonction seulement des états limites, et indépendamment de la condition arbitraire qui gouverne dans chaque cas l'évolution thermique accomplie par le gaz.
En d'autres termes, l'expression de dQ n'est pas une différentielle exacte (*), en fonction des variables p et v supposées indépendantes. La condition à remplir pour cela serait en efiet, en ce qui concerne la première (19), par exemple, des trois formules précédentes :
dv dp
(*) C'est M. Clausius qui, le premier, a formulé nettement cette vérité fondamentale de la thermodynamique
4iG THERMODYNAMIQUE.
et elle se réduil à :
Or, nous avons vu (15) que k a la valeur 1,41 .
Nous ne pouvons donc, si nous voulons aller ici jusqu'au bout ilc cette détermination, que supposer arbitrairement diverses formes pour la fonction (15), et achever alors la solution dans chaque cas. On pourrait assurément étendre beaucoup ces applications, au point de vue purement analytique, mais sans grande utilité pour l'application. Je me bornerai donc à envisager quatre hypothèses fondamentales, dans lesquelles chacune des quatre variables successivement fy Vf p, 0, est supposée rester constante.
Nous connaîtrons ainsi la quantité de chaleur qu'il est nécessaire d'inoculer au gaz pour lui faire accomplir l'évolution voulue. Ce résultat représentera également, sauf le signe, la quantité de chaleur que le fluide remettrait en liberté, s'il venait à subir une transformation précisément inverse. C'est môme ainsi que l'on envisage le plus souvent la question, car les gaz sont appelés à travailler dans des machines où l'on recueille ce que l'on appelle leur travail de délente, c'est-à-dire l'équivalent dynamique de la chaleur dont je viens de parler. Ajoutons encore que l'on peut présenter les résultats sous deux formes distinctes, bien qu'équivalentes, suivant que l'on fait connaître le total de la chaleur engendrée, ou, séparément, la partie qui est convertie en travail externe, et qui forme ordinairement l'inconnue la plus directement utile des problèmes d'application. Il importe , dans chaque cas, d'être bien prévenu à cet égard. Nous désignerons le total du travail par T, en conservant, pour le travail externe, la notation T,.
DÉTEIWTES SPECIALES
S567 — Détente isotherme. — On appelle détente isotherme celle pendant le cours de laquelle la température est maintenue cens-
tante. La relation (15) ne sera donc autre que la loi de Mariotte (259). Dans ces conditions, la variation de chaleur interne (18) s'annule directement, et le travail total T ne diffère pas du travail externe T^. La formule (17) donne à cet effet :
d'où les quatre formes suivantes, que Ton peut employer indifféremment, et dans lesquelles la caractéristique L désigne essentielment un logarithme népérien (^) :
(20) T = T, = p(i\ L^^ = p,v, L ^ z=\\iL -• = WtL ^.
'^ î'i Vt Vi Pi
Le travail de la détente isotherme est donc proportionnel à la fois à la température absolue et au logarithme du rapport des pressions ou des volumes extrêmes.
Nous conviendrons de désigner en toutes circonstances par p le rapport des pressions extrêmes, en le prenant de telle sorte que Ton ait :
P>1, Lp>0.
Ce n*esty d'ailleurs, que dans le cas de la détente isotherme que ce quotient se confond, en vertu de la loi de Mariotte, avec le rapport inverse des volumes extrêmes, appelé rapport de détente (*).
S'il s'agit de l'air atmosphérique, on aura, en rendant à R sa valeur (11), et revenant des logarithmes népériens au système ordinaire (•) :
T = T, = 29,2814 x 2,5025 tlogp = 67,42 ^ogp.
('} Nous conserverons cette notation pendant toute la suite de ce Cours, en affectant ic signe iog à la désignation des logarithmes du système décimal. On passe de l'un de ces systèmes à Tautre au moyen des modules de conversion 0,4543 et 2,3025.
(*} On appelle aussi parfois ce dernier : rapport de détente géométrique, et — rap-
port de détente dynamique. *
(') On pourrait éprouver quelque étonnement en remarquant que, iM)ur une détente complète, poussée jusqu'à l'iiypotliése /9 = 3c, le logaritlune devient infini. Il semble
5568 — Volume constant. — Si nous supposons, en second lieu, le volume constant, c'est maintenant le travail externe qui disparaît de la formule (17), puisque sa production suppose essentiellement une variation d'étendue :
Il ne reste plus que Tinflucnce de la chaleur sensible :
Q = U, — Uj = c(t, — «,),
et pour le travail qui lui correspondra, si Ton s'attache à capter la chaleur ainsi mise en liberté pour l'employer dynamiquement par un moyen quelconque :
T = Ec(f, — g, c'est-à-dire d'après l'équation paramétrique (14) :
Si l'on rend à k sa valeur (13), on aura d'une manière générale :
et, en particulier, pour l'air atmosphérique (11) :
On voit que le travail rendu disponible par une évolution accomplie sous volume constant est proportionnel à la chute de température. Le coefficient de proportionnalité est -r—Tt '
surprenant qu'une masse limitée de matière, à savoir un kilogi*amme de gaz, soil capable d'exercer ainsi une puissance indéfinie. Mais la difficulté disparait si l'on fait attention que, pour maintenir jusqu'à cette exti*émité la température constante, il a fallu fournir au gaz une quantité indéfinie de chaleur, dont il est dès lors naturel que Ton retrouve ainsi l'équivalent.
%n — Pression conslanle. — Dans une transformation sous
pression constante ('), la chaleur totale s'exprime inunédialement
par définition, au moyen de la chaleur spécifique C (12) ou kc (*) :
Q = tc{/, — (,).
Pour dégager de ce total la portion Q„ qui correspond au tra vail externe, il suffit d'en retrancher la variation d'énergie interne (18). Il vient ainsi :
On en déduit :
T. = [k — l)cE((, — /,).
au, d'après l'équation paramétrique {{^) :
Le tiwail externe de la détente à pression constante est donc proportionnel à la chute de température. Le coeffidenl de propor- Uonnalité est R.
On aura, en particulier, pour l'air atmosphérique (H) :
£70 — Délente adiabatique. — Rankinc a introduit dans la science l'expression de détente adiabatique (') pour désigner les transformations pendant lesquelles le corps n'est mis en relation
I') Appelée aussi détente Uobare (Jlui');uc. Essai d'une cipasition ralioiinclle de la llii'orie mécanique de la chaleur. BulUlia de la Société de l'induilrie miaéraU de ^i«t-Élitnne, 3- série, 1. I, p. SOS).
,1 Ce résultat s'obtiendrait également à l'aide de l'équalion (17), en y traitant p ("nime constante, el l'éliminant ainsi que v, et r, après l'Jntéiri'ation, au moyen de la relalion-tfpique (10).
{') 'ASiàfiitac, impénétrable.
Un ne doit pas confondre la dciciite adiabatique, dans laquelle le gaz oici^e un tratail citerDC. Biec la détente itodynamigue, pour laquelle on suppose de même l'ati- KiMe d'échanges de clialeur avec les pamis, mais en outre l'absence du travail citerne; le gai se précipitant dons le vide comme pour l'expérience dcGay-Lussac.de Joule. Je Hegnauit [n* 257).
AU TUERMODYNAMIQUE.
avec aucune source extérieure de chaleur, active ou soustraclivc. Il suit de là que le travail externe qu*il peut fournir dans ces conditions, ne saurait être exercé qu'aux dépens de son propre approvisionnement de chaleur interne. On aura donc> en changeant dans le cas actuel le signe de la formule (18), qui était supposée représenter pour le corps une acquisition d'énergie interne :
T, = E(L\ — U,) = Ec{U - h),
ou, d'après l'équation paramétrique (14) :
(22) T. = -jr^^ (t, - g.
Le travail externe de la détente adiabatique est proportionnel à la chute de température. Le coefficient est j — -. •
On remarquera l'identité de celte formule avec celle du N" 268. Les mêmes transformations de l'équation peuvent donc se i-cproduire ici.
Je signalerai également la similitude des deux énoncés relatifs à la détente adiabatique et à celle qui s'efTectue sous pression constante. La loi de proportionnalité subsiste dans les deux cas. Sa rapidité seule diffère d'après les coefficients. Le rapport de ces derniers est k — 1 ou 0,41. D'où cet énoncé : Le travail développé sous pression constante est environ les deux cinquièmes du travail adiabatique, pour une même chute de température.
