LOI DE LAPLACE
îï7f — Loi de Laplace. — En môme temps que nous possédons les valeurs (20) et (21) du travail de la détente isotherme, et de celle qui s'exerce à pression constante, nous connaissons la loi de ces transformations, à savoir la constance même de la température ou de la pression. Nous avons de même la valeur (21) du travail de la détente adiabatique, mais nous ne connaissons pas
encore la relation eiilre t, v, p, qui préside à ce mode d'évolulion. Cette loi réside au fond, à la vérité, dans l'absence d'échange direct de chaleur, mais il reste à la dégager explicitement. Nous avons à cet égard la condition :
dQ = 0,
c'est-à-dire (19) :
vdp -r kpdv = 0.
Pour rendre intégrable cette équation difTérentielle, divisons ses deux membres par le produit pv. 11 vient ainsi :
d'où, en intégrant :
^ Lp -+- kLv = consl.,
L(pv^) =: const. = L{piVi^)y
et enfin :
(25) pv^ = p^v^^
ou sous une forme symétrique :
Telle est la relation cherchée, qui est connue sous le nom de loi de Laplace (') ou de Poisson.
,*} Lapbce. Mécanique céleste, livre XH. — Poisson (Annales de chimie et de physique, 2» sériCf t. XXUI. — Traité de mécanique, t. H, p. Ci6). — Reech. Journal de nutthétnaliquet pures cl appliquées, 1854. — Moutier. Sur la détente des gaz sans >arialion de chaleur. Annales de chimie et de physique, 5* série, t. VU, 1876. — Cazin. Essai sur la détente des gaz sans variation de chaleur. Ibidem, 5* série, t. LXVI, \9ffl, — Bourget. Ibidem, 1850. — Résal. Annales des mines, 18G1. — Antoine. Variation de température des gaz et des vapeurs qui conservent la môme quantité de chaleur sous des tensions différentes. Comptes rendus de V Académie des sciences, t. CV. p. 1242; t. CVI, p. 57. — De Plana. Mémoires de Turin, 18i2. — Ivory. Philosophicai Magazine, 1827. — Clausius. Annales de Poggendorf, et Annales de chimie et de physique t 1852.
410 TUEUMODYNÂMIQUK.
Elle est susceptible de trois énoncés distincts, suivant celle des trois variables ^ v, p que Ton maintient absente de cette équation. Sa forme actuelle nous donne entre v et p :
La pression varie en raison inverse de la puissance k ou 1, U du volume (*).
Pour éliminer la pression, nous écrirons ainsi la formule (23) :
pV . W*-* = PiVi . Vi*""*,
et enfin :
La température absolue varie en raison inverse de la puissance k — 1 ou U,41 du volume.
Pour faire disparaître Vf il suffit de transformer cette dernière relation au moyen de l'équation (23) :
V \PiJ
Il vient par là :
fc — 1 , . 0,«9
La température absolue varie en raison directe de la puissance
— Y — ou 0,29 de la pression.
(*) L'application de cette foi*mule exigeant l'emploi d'une table de logarithuK^t \V. Rankine, pour dispenser de ce secours, a cherché {On ihe Theory of explosirt gaz engine, p. 466) à identifier approximativement la fonction xt'*> avec une expression de la forme A -|- Ba* -f- Cj?*. Il a montré que, pour des valeurs du rapport des volumes comprises entre 2 et 7, on peut employer avec une exactitude suflisajite la formule :
-^ = 0,540 ^ A — îli^ — 0,Oïtô.
On pourra faciliter Teinploi de ces diverses formules dans les applications au moyen de la table suivante (*) :
Pt
[■) Elle est empnintée au Traité des moteur» à gaz de M. Gustave Uichard (page 13). pt calculée en supposant A= 1,400 (voy. n* 304, note). M. Mallard a cîTiistiniit de son côte une semblable table avec la valeur A* = 1,408 et la poussée jusqu'à 10 atmosphères {Bulletin de la Société de Vinduatrie minérale de Saint-Etienne, 1" série, t XH, p. 015). M. Pcrnolet l'a prolongée jusqu'à 15 atmosphères {L'air confprimé et tes applications, p. 40). MN. Ilirsch et Debizc ont dressé des tables très étendues relatives à ces divei'scs questions {Levons sur les machines à vapeur, t. I, p. 246).
ils TllEltMODY.NAMlULK.
traivsvaseme:vt des gaz
Î872 — Formule générale. — Imaginons qu'un premier récipient renferme un poids m^ de gaz sous un volume total V,, un volume spécifique v^, une pression p,/une température absolue /,. Un autre vase présente les éléments correspondants : m,, V,, v,, p,, f,. On met ces deux enceintes en communication. Si Ton suppose :
Pi > Pt^
le gaz passera de la première dans la seconde, jusqu'à ce que la tension soit devenue égale de part et d'autre.
A un moment quelconque, un poids m a déjà effectué le passage. Le premier vase renferme alors la quantité degaz77i, — m sous le volume total V^, le volume spécifique i;',, la pression p\Ja température l\. Les éléments homologues sont, pour le second récipient : m, -h m, V,, v\, p\, l\. Proposons-nous de déterminer la loi de variation de ces diverses quantités, en supposant, pour fixer les idées, qu'aucun échange de chaleur avec les parois n'intervient dans le phénomène (*).
Le rapport des volumes spécifiques de l'instant initial et de l'instant quelconque pour le premier récipient est l'inverse de celui des poids qui occupent successivement ce môme volume Vj :
l'j Wj — m
Celui des pressions sera donné par la formule (23), car le poids î/ij — m, actuellement renfermé dans le vase qu'il remplit en entier, s'y trouvait originairement condensé dans un moindre volume, et il y a subi une détente adiabatique :
7^1 V>\l \ ^Wi /
;V; DauM-hingcr. îliêorio de l'ccouleiiicnt des gaz parfaits. Jounia/ de maUicmaliqKCf cl de plujsifjHC de Scldwinilch, t. VIII,! \). 8i.
Le rapport des températures sera, pour la même raison, fourni par Téquation (24) :
L'état {v\yp\j l\) du premier récipient se trouve ainsi complètement connu à chaque instant.
*78 — Le phénomène n'ayant exercé sur les objets extérieurs ni travail, ni échange de chaleur, le tolal de l'énergie interne des deux vases, quand nous les réunissons ensemble par la pensée, n'a pas du changer. En désignant par Uq la valeur qu'elle prend pour un kilogramme de gaz, au zéro du thermomètre absolu, elle sera {\ -\- et h une température quelconque l (éq. 18). Dès lors le total de 1 énergie interne avait comme valeur initiale :
wii(l'o + cQ H- »w,(Uo 4- cQ, et sera, pour un instant quelconque :
(/«i — m) (Uo -H cl\) + (w, -h m) (l'o -h cl\).
Si nous égalons entre elles ces deux expressions, les termes en U,, disparaissent, ainsi qu'il était facile de le prévoir. Le coefficient c reste par suite en facteur commun, et, en le supprimant, nous obtenons l'égalité :
Wj/j -h m,/, = (mj — m) t\ 4- (m^ -j- m) /',.
On en tire :
-, wii^i -h m,/, — (mi — vi)l\
îw, -H m
ou, d'après la valeur de i\ que nous fournit la dernière équation :
mA 4- mA [i - (^^^)^] m, 4- m
4i0 THËRMOD^ISÂMIQUE.
Telle est à chaque instant la température de la seconde enceinte. Le volume spécifique du gaz qui la remplit est fourni par la proportion inverse des poids qui remplissent, aux deux instants considérés, son volume V, :
Enfin nous déduirons la pression de l'équation typique :
qui nous donne :
£j -^ iîl ?J
c'est-à-dire :
L'état (r',, p',, <',) du second récipient se trouve donc également déterminé.
5574 — Nous pouvons assigner d'après cela le terme de l'écoulement, et déterminer le poids total M qui sera définitivement passé d'une enceinte dans l'autre.
La condition à remplir pour cela est évidemment :
V\ = f'ïi
c'est-à-dire :
On en déduit :
TRAVAIL DES fiA/.
On a d'ailleurs :
c'est-à-dire :
et. en outre :
d'où :
"hl. ftV.
li vient ainsi :
et. par conséquent :
Tel est le poids transvasé.
La température du récipient d oii est sorti le gas est devenue par là :
ïi rp.v. + r.y.i^.
', ~Lp,(V, -H V.lJ '
celle du second récipient :
^^__Vj p.v, -^ p.v.
*'"^*' p.v, ,P,V,(. fp.V, H-p.Y,-|ij
Entin la pression comjnunc a pour valeur :
ÎÏ75 — Applications, — Supposons en particulier qu'un vase de capacité finie V,, et de tension p^, se vide dans Tatmosphère à la tension p,.
Il suffira, pour exprimer cette condition, de supposer V, = oc. On aura pour le poids écoulé :
et, pour la température finale :
h \pj
La formule générale donne d'ailleurs :
T' — t comme cela devait être.
Î876 — Imaginons en second lieu qu'un vase vide V, soit mis en communication avec l'atmosphère, qui a pour tension p^. On devra supposer en premier lieu p,= 0, et en outre V, = oo, m = oc. La formule qui exprime le poids écoulé M prend alors la forme indéterminée Oxoc; mais on peut lever cet obstacle de la manière suivante. Après avoir introduit l'hypothèse p, = 0, on aura, en multipliant les deux membres part;,, et remarquant que m,v, =Y,:
Nous pouvons développer cette expression par la série du binôme de Newton, puisque l'exposant est inférieur à Tunité en valeur absolue. En désignant par K la somme finie d'une certaine série convergente, on aura :
tlAVAIL DES (lA/.
cl, en passant à la limite :
Ail',
On trouve à l'aiftc d'un artifice analogue :
T', = kl„
et en outre, ainsi qu'on devait s'y attendre :
r, = (,; F, = F, = jJ,.
XTir — Considérons enfin l'expérience de Joule (n' 257). Les deux volumes V, , V, restent finis, mais le second est vide. On a donc
La masse écoulée devient dans ces conditions : et la température du récipient originairement plein d'air :
On \oit qu'elle a subi un abaissement, avant que les échanges de chaleur aient eu le temps de s'effectuer. Celle du vase primitivement vide prend alors pour valeur :
el la pression finale:
r, = r, = V, v-4nr-
424 THERMODYNAMIQUK.
