ENTROPIE
ÎC78 — Théorème de Reech. — Supposons que l'on fasse subir à une masse gazeuse une compression infiniment petite suivant le mode isotherme. L'invariabilité du produit pv^ conformément à la loi de Mariotte, permet alors d'annuler sa différentielle totale :
pdv -h vdp = 0, dp ^ — — dv,
expression positive, puisque dv désigne une quantité négative.
Opérons de même une compression adiabatique élémentaire. La constance du produit pv^^ d'après la loi de Laplace, nous donne :
* kpv^'^dv -h v^dp =. 0,
dp' = —J^dv.
On a donc , en supposant dans les deux cas une même compression dv :
dp'
dp
d'où ce théorème de Reech (*) : Le rapport des accroissements de pression que subit une masse de gaz en vertu d'une même dimù nution infiniment petite de volume^ suivant que Von emploie Vun ou Vautre des deux modes adiabatique ou isotherme^ est invariable et égal au rapport des chaleurs spécifiques à pression et à volume constants.
ftlfB — Entropie. — Nous avons reconnu (n* 266) que la différentielle dQ de la quantité de chaleur (19) n'est pas intégrable
(*) Reech. Théorie deê machines motrieee et des effets méeaniqves de la chaleur.
TRAVAIL »ES liAZ.
lorsqu'on laisse aux variables p clv leur indcpcndanci temps, nous venons de voir (N" 271) que le résultat de
par pv, o\x, si l'on veut, de sa multiplication par l'inv
température absolue, fournit au contraire une difTéreni Il existe donc une fonction des variables indépendai ne dépend, dans les transformations des gaz parfaits, i états extrêmes (f),, v,); (;>,, vj, et nullement de la succei intermédiaires qui est spéciale à chaque cas.
On conçoit facilement qu'une telle fonction présente 1res grand intérêt. M. Clausius a introduit, pour la > dénomination A'entropie {'). Elle a pour différentielle :
c'est-à-dire (n° 271) ;
L'oitropie s, prise entre deux états extrêmes quelconq (Pi. pj. a donc pour valeur :
*80 — Équation de Clausius. — Parmi les transfo nombre infini qu'il est possible d'imaginer, il en exisl tris importante que l'on désigne sous le nom de cyclei simplement de cydea. On appelle ainsi toute évolution d un corps, une fois détourné de son état initial, s'y tra finalement après des vicissitudes quelconques.
Si l'on évalue l'entropie d'un pareil cycle d'après la F on voit qu'elle s'annule, avec le logarithme de l'unité. B rème capital dû à M. Clausius : L'entropie d'un cycle conque est toujours nulle pour un gaz parfait.
■'\ Du mot gTte^fimeii, Iransrornmtioii.
On exprime ordinairement celle vérité en écrivant : (27) j^ = 0;
seulement il doit rester bien entendu qu'il ne s'agit pas, dans celte forme abrégée, d'une intégiale indéfinie ordinaire, mais, tout au contraire, d'une sommation d'éléments successifs* aboutissant au point de départ de la série des transformations.
DËTEIVTE A TRAVAIL IIVCOSIPLET
281 — Dans toutes les questions précédentes, nous avons sup posé que le gaz fonctionne à travail complet; c'est-à-dire qu'il trouve derrière son enveloppe déformable une pression constamment égale à la sienne p, ou du moins infiniment peu inférieure p — dp, lorsqu'il se détend, ou infiniment peu supérieure p-f-dp, s'il se trouve au contraire comprimé par la contraction de cette enveloppe. Nous envisagerons actuellement une transformalion à travail incomplet (*).
Considérons un gaz placé dans les conditions iniliales K^Pf^). qui restent nécessairement liées entre elles par la relation typique :
Nous pouvons, pour fixer les idées, nous représenter ce fluide comme enfermé dans un cylindre, foncé à l'une de ses extrémités. Un piston mobile sans massey et par suite sans force d'inertie^ permettra l'expansion du gaz ou le refoulera sur lui-même, suivant les alternatives de la pression extérieure qu'il éprouve sur sa face externe. Supposons que celte dernière, qui était primitivement égale à la tension p du gaz, vienne à défaillir subitement, en tombant à
(*) On verra plus loin (n» 430) que de (elles évolutions sont appelées irrévergiUes.
une valeur moindre, variable d'ailleurs d'un instant à Taulrc, et que je représenterai par P. Le piston se précipitera dans le degré de vide ainsi créé sur sa face libre, jusqu'à ce qu'il se trouve arrêté par un cran. A partir de ce moment, la force vive s'éteindra progressivement par l'action des remous, en se transformant en chaleur, cl le gaz atteindra un état final (v,, jt?,, Q dont les éléments seront encore reliés par l'équation typique :
Le volume final v,, déterminé par la position de l'arrêt, est supposé connu, et il s'agit de trouver les valeurs de p, et de /,.
Pour que la question admette une solution déterminée, il sera nécessaire de faire connaître, d'une part le total Q, positif ou négatif, de la chaleur qui aura été communiquée au gaz pendant la détente, et, en second lieu, la loi arbitraire qui préside à la variation de la pression extérieure P en fonction de la position du piston, c'est-à-dire de v. Dans ces conditions, Q sera, comme toujours, la somme de deux parties, à savoir : l** l'énergie interne, qui est indépendante des conditions intermédiaires de la transformation, et ne dépend que des deux états extrêmes sous la forme (18) :
el 2" la chaleur équivalente au travail externe réellement dépensé pour refouler la force antagoniste, dont la valeur est P par unité de surface. Ce second terme a pour expression (1) :
A r* vdv.
On peut donc poser l'égalité :
qui fera connaître /,; après quoi l'équation typique fournira /), en fonction de t\ et.de /,.
1t^^ — Supposons, comme exemple, que la pression extérieure P reste constante- L'intégration s'eflectuera alors sous la forme :
Q r:= c(i^ — t,] -h AP(l', — t\).
Imaginons en outre que la délente se produise sans aucun échange de chaleur enti*e le gaz et son enveloppe. Nous devrons pour cela faire Q = 0 ; d'où la condition :
cUt — h) -f- k?{v^ — vj = 0, qui nous fournit la valeur de la température finale :
^ = ^ — (Vi — vi),
ou, d'après la relation paramétrique (14) :
h = h— - — jp^ (^i — ^i)' On aura dès lors pour la pression finale :
Pt =
ou encore :
Vm
9S3 — Dans certains cas, au lieu de connaître directement le volume final r,, c'est-à-dire le degré de détente géométrique, on assignera a priori la pression finale p„ ou le degré de détente dynamique*
Dans CCS conditions, la dernière égalité nous fournit pour la valeur de v^ en fonction de pt :
;>i -h (k — iVP
et la température finale /, devient par cette substitution :
I , (^ — 1)1*^1 Pi — Pf
Envisageons spécialement le cas de la détente complète, c'est-àdire celui dans lequel on pousse l'expansion du gaz jusqu'à ce qu'il se mette en équilibre de pression avec l'extérieur. Nous poserons à cet effet :
et il viendra pour ce cas-limite :
c'est-à-dire :
Vi k ' kP
et, en second lieu :
d'où :
A - 1 * — 1 fPi^i
{PiVj ^Vi\
^ \ Pi I
et enfin
ti k k pi
Quant au travail ainsi développé, il aura pour valeur P(i;, — t\), c'est-à-dire :
Siy par exemple, la pression extérieure était égale à la moitié de la tension intérieure, on aurait pour la détente complète elTectuée dans ces conditions :
Pi
-+- "ik
- - 0,8oi6.
Le travail externe prendrait en même temps pour valeur :
