VITESSE
FORHUIiE «ÉNÉRALE
— On désigne sous le nom de Pneumatique Tensemble des lois qui président au mouvement des gaz parfaits. Ainsi que nous Tavons fait pour l'Hydraulique (n** 38), nous étudierons successivement les points singuliers de Técoulement et ses longs parcours. Nous commencerons par Tétude du mouvement permanent (*) qui se produit à travers un orifice (fig. 188).
Nous représenterons le temps par t. Au bout d'un intervalle élémentaire dx, les molécules qui occupent la section AB de l'ouverture seront arrivées en A^B^, tandis que l'on rencontrera en AB celles qui foimaient, à l'origine de ce temps, une certaine tranche A'B'. Cette dernière section est elle-même occupée, à l'instant final, par des points matériels qui se trouvaient au début en A^B", et ainsi de suite. Nous arrivons ainsi à découper la masse intérieure en tranches successives : ABA'B', A'B'A"B^ ..., M,N,M,N„ M^N^MN, emboîtées en quelque sorte les unes dans les autres, et telles que, dans le cours de cet intervalle de temps, chacune d'elles vient prendre la place de celle qui la précédait immédiatement. Les sections de ces
(*] J. Ville. Appareil destiné à régulariser l'écoulement d'un gaz à une pression quelconque. Comptes rendue de V Académie des sciences, 15 mars 1882, p. 724.
tranches s'amplifient de plus en plus, à mesure que Ton avance par la pensée vers l'intérieur, en même temps que se ralentissent, par cela même, les mouvements dont elles sont animées. Nous envisagerons ici la masse finie qui se trouve comprise entre AB et une section MN suffisamment reculée pour que la vitesse (et surtout son carré) puisse être négligée dans Téquation des forces vives vis4-vis de celle w de l'écoulement qui s'opère à travers Torifice, lequel est ordinaircment très rapide.
Dans la région ultérieure, qui reste ainsi sensiblement stationnaire, règne une pression que l'on peut considérer comme uniforme, et que nous désignerons par p,. Nous représenterons de même par p, celle de reiiceintc extérieure, dans laquelle se déverse le fluide.
L'équation des forces vives, que nous appliquerons durant l'intervalle dT, consiste en ce que la demi-force vive de la masse MNAB subit, pendant le passage en M^N^A^B^, un accroissement égal au travail qui résulte 1** des forces extérieures (*), à savoir la pesanteur et la réaction des parois environnantes, 2** de la conversion dynamique de la chaleur inoculée ou soustraite durant cet intervalle, sauf la partie qui sert à modifier la provision de chaleur sensible.
En raison de la permanence du mouvement, tout reste identique pour les deux instants extrêmes dans l'espace M,N,AB. La demiforce vive de cette portion figure donc avec deux signes contraires dans l'accroissement de celle de la masse MNAB passant en M,X,A,Bi. Il ne reste dès lors dans le premier membre que la différence con-
Fig. 188.
(^) Les forces intérieures figurent également en général <ians le théorème des forc«s Yives; mais elles disparaissent dans le cas particulier qui nous occupe, puisque le traTaii interne est nul pour les gaz parfaits;
cernant les deux tranches ABA^B^ et MNM^N,. Ces deux volumes
comprennent des masses égales , dont la valeur commune sera
PdT représentée par — , si P désigne le débit en poids. Comme d'ail-
leurs nous négligeons le carré de la vitesse d'amont vis-à-vis de
celui de la vitesse d'aval, il ne restera, pour constituer le premier membre, que la demi-force vive de la tranche ABA^Bj, c'est-à-dire :
285 — Dans le second membre, nous commencerons par négliger, pour simplifier, le travail de la pesanteur, qui est ordinairement insignifiant dans le phénomène en question (').
Nous pouvons de même faire abstraction du travail du frottement exercé par les parois solides, pour un aussi faible parcours. Une partie de ce travail se transforme d'ailleurs en chaleur, et nous reviendrons plus loin sur la prise en considération des quantités de chaleur communiquées au gaz pendant son trajet (') .
En ce qui concerne les réactions normales des parois, nous pouvons considérer successivement trois régions, à savoir : la paroi solide MABN, ainsi que la section AB et la section MN du courant.
La première est sans influence, car les efforts normaux aux trajectoires qui sont suivies à son contact par le fluide ne développent aucun travail.
Si nous admettons pour le moment (') que la pression moyenne par unité de surface soit égale à p, dans toute l'étendue de la tranche .VB, l'effort résistant total qui s'y trouve développé aura pour
(*) Kous aurons soin de le rétablir plus loin (n* 318), lorsqu'il acqueiTa une importance suffisante pour être pris en considération.
0 Quant au frottement de la veine gazeuse contre le miUcu ambiant au sein duquel K dérerse le courant, il peut, dans certaines conditions que nous écartons en ce iDoment, prendre un développement considérable, et donner lieu aux phénomènes connus aous le nom d'entraînement latéral de l'air (Félix de Romilly. Comptée rendue de C Académie de» sciences, 18 janvier et 12 avril 1875. — Les Mondes, 27 mai 1875) uubgue à celui de l'eau (n"" 90, note), et à celui de la vapeur dans les ii^ecteurs dont nous nous occuperons plus tard^ et pour lesquels le phénomène devient encore plus complexe qu'avec les ga2 parfaits*
0 Nous reviendrons plus loin avec détail sur ce point essentiel (n* 304).
valeur p^(ù^j en désignant par o), l'étendue de cette section. Le déplacement étant ud'Zf le travail correspondant sera — p^ca^ud?. Mais iù^ud'z mesure le volume de la tranche ÂBA^Bp et peut s'exprimer au moyen du quotient de son poids efTectif P(2i par le poids
spécifique xj, ou — (éq. 4). L'expression du travail résistant devient
par là :
Celui de la pression motrice exercée sur la section d'amont MX aura donc de même pour valeur :
ItSS — Il reste encore à envisager l'influence des échanges de chaleur sur la transformation éprouvée par le fluide, en passant de l'état MNAB aux conditions MjN,A,B,. Celte somme d'énergie se compose de l'ensemble de celle qui est développée simultanément pour la tranche MNM,Nj passant en MjN,M,N,, pour M^N,MjN, venant en M^NjMjN,, ..., pour A^B'TB' passant en A'B'AB, et enfin pour AmB arrivant en ABA^Bj. Il reviendra évidemment au môme, pour effectuer cette sommation, au lieu de nous représenter par la pensée (ce qui est en effet la réalité) tout l'ensemble des Ifanches comprises entre MN et AB comme faisant simultanément chacune un pas en prenant la place de la précédente, d'imaginer qu'une seule d'entre elles, à savoir MMN^N,, franchisse successivement tous les pas qui la séparent de la situation finale ABA^B^. Au moyen de cet artifice, nous substituons à la transformation proposée de la masse finie MNAB en M^N^A^B^ pendant un parcours élémentaire, celle de la masse élémentaire MNM^N^ en ABA^B^ sur un parcours fini.
Le résultat de cette évaluation sera celui que nous avons appris à effectuer (chap. XIV, § 2) pour l'unité de poids, en ayant soin de le multiplier par le poids Vdt de la tranche. Or ce facteur figure déjà dans tous les termes que nous avons calculés. Convenons donc, dès à présent, de le supprimer de l'équation qu'il s'agit de former, en réduisant son premier membre à :
ainsi que l'influence des pressions extrêmes dans le second membre à :
et raisonnant dorénavant sur l'unité de poids.
La chaleur communiquée, défalcation faite de celle qui consene la forme thermique pour s'adjoindre à la provision déjà existante de chaleur sensible, ne fournit pas de travail interne, puisqu'il s'agit d'un gaz parfait, mais seulement le travail externe nécessaire pour refouler le milieu environnant, de manière à permettre à la masse l'expansion qu'elle doit prendre du volume v^ au volume v,. Elle n'introduit donc dans la relation des forces vives que le terme :
pdv.
ÎB87 — Nous pouvons dès lors écrire ainsi cette équation :
Mais il est facile, à l'aide de l'intégration par parties, de l'amener à une forme encore plus condensée. Nous avons en effet identiquement :
I pdv = pv — I vdp, ( 'pdv = p,v, — piv^ — ( \dp
= Pt^l — Pl^i -+- f * ^dp*
En substituant, on obtient simplement (^) :
(') De Saint-Venant et WanUel. Mémoire et expériences sur l'écoulement de l'air. iowmal de VÉeole Polytechnique, XXYII^ cahier, 1837, p. 102. — Zeuner. Iki9 Loeomothfen BUurohr, 1865, p. 68. — Bauschinger. Théorie de l'écoulement des gaz parfaits. Journal de mécanique et de physique de Schlcsmilch, t. VIII, p. 81. — Dupré. Sur la vitesse d'écoulement des gaz par des orifices en mince paroi. Compte» rendus de V Académie des Mcieneee, t. LVIII, p. 1004.
ou encore :
Mentionnons encore une dernière transformation de la relation (28) à l'aide de Téquation typique des gaz parfaits (10) :
(51) g= K{U - Q -i^ f%dv.
On remarquera l'analogie de la formule (30) avec celle qui gouverne l'écoulement d'un liquide (n* 40) , lorsqu'on y néglige, comme nous l'avons fait dans le cas actuel, le travail de la pesanteur :
^ ' 2^ cy
Le résultat est absolument semblable; seulement, au lieu de prendre simplement la différence des valeurs extrêmes B ^* 3*
il nous faut ici additionner successivement les accroissements 37»
en tenant compte pour chacun d'eux de la variation, arbitraire a priori^ que subit la densité. C'est le caractère le plus saillant de ce nouveau phénomène. Au lieu de comporter une solution unique comme le mouvement des liquides, le problème de l'écoulement des gaz en admet une infinité, en raison des différents modes d'après lesquels sera instituée l'expérience, au point de vue de la communication de la chaleur à la masse en mouvement.
Nous ne pouvons donc, en ce moment, pour fixer plus complètement les idées, que nous attacher à un certain nombre d'hypothèses déterminées, qui nous permettent d'achever l'intégration. Comme ci-dessus (Chap. XIV, § 2), je me limiterai aux quatre cas fondamentaux qui résultent de la constance de l'une quelconque des quatre quantités p, v, t, Q. Remarquons même que ce point de vue ne don-
ÊCOULEWSNT B'OS GAZ PAR m ORIHCE. — VITESSE, nera lieu ici qu'à trois exemples distincts, car l'égalité de pi au dedans et en dehors supprimerait tout écoulement, ainsi montre d'ailleurs immédiatement la formule (29).
APPLICATICNS
S88 — Écoulement à densité corulanle. — Considérons ■ mier lieu le cas où le poids spécifique reste invariable; si l'on ménage des échanges de chaleur déterminés avec pi en vue d'amener ce résultat, soit que l'on se borne à trai approximation le cas des faibles dépressions, très fréquei la pratique, en négligeant les petites variations qu'elles enf pour la densité. L'équation (50) ramène alors immédiate ceUe (31) du mouvement des liquides, ce qui est bien i puisque ces derniers sont définis par la constance même poids spécifique.
Cette relation :
permet d'effectuer certains rapprochements qui ne sont p inlérÉt. Pour formuler ces énoncés, je ferai remarquer qi une section déterminée, te débit en volume reste proportion vitesse, c'est-à-dire à la fonction :
Le dH>it en poids étant le produit du précédent par le poid lique fi, le sera de son câté à l'expression :
\/(Pi-p,)a.
Nous obtiendrons ainsi , dans l'hypothèse qui nous occu énoncés suivants :
Théorèhe a. — A pression effective (*) égale, la vitesse et le débit en volume augmentent en raison inverse de la racine des densités.
Théorème B. — A densité égale y la vitesse ou le débit en volume varient en raison directe de la racine des pressions effectives.
Théorèbie C. — Pour réaliser avec des fluides distincts la même vitesse ou le même débit en volume, il faut employer des pressions effectives en raison directe des densités.
Théorème A'. — A pression effective égale, le débit en poids varie en raison directe de la racine des densités (').
Théorème B'. — A densité égale, le débit en poids varie en raison directe de la racine des pressions effectives (').
Théorème C. — Pour réaliser avec des fluides distincts le même débit en poids ^ il faut employer des pressions effectives en raison INVERSE des densités (*).
Pour appliquer ces aperçus à un exemple, comparons les résultats propres à Teau et à Tair normal. Le rapport de leurs poids spécifiques donne exactement :
mais, pour abréger, nous formulerons les énoncés suivants en employant seulement les nombres entiers 773 et 28.
Les théorèmes A et A' montrent que, à pression effective égale, la vitesse et le débit en volume sont 28 fois plus grands avec Vair qu'avec Veau, et le débit en poids, au contraire, 28 foi» plus grand avec Veau qu^avec Vair.
Les théorèmes B et B' n'ont pas à intervenir, puisqu'ils ont pour objet la comparaison de fluides de même densité.
(*) Rappelons que l'on appelle pression effective (n*> 9) la diflërence de pression de l'intérieur à l'extérieur.
(*) Dans le tliéorème A, la proportion était inverse.
(') Il en est de même dans le théorème B, ce qui est naturel, puisque, à densité égale, les poids sont entre eux comme les volumes.
*) Dans le théorème C, la proportion était directe.
Le théorème C montre que, pour réaliser la même vitesse, ou débiter le même volume, il faut une pression 7 73 fois plus grande avec Veau qu*avec Vair,
Le théorème G indique que, pour débiter le même poids, il faut une pression eflective 773 fois plus grande avec Vair qu'avec Veau.
Quand un gaz passe d'une tension supérieure à une pression moindre, il a tendance à se dilater. Il faut donc, pour que sa densité reste la même, qu'un abaissement de la température intervienne pour le contracter en sens inverse. Il est facile d'en obtenir l'évaluation. On a, en eflet, d'après l'équation typique (10) :
ou encore :
ti — U^\{Pi— Pt).
U — ^1 Pi — Pi h Pi
proportion qui fait connaître la chute de température en fonction des pressions et de la température initiale.
S89 — Écoulement isothertne. — Supposons, en second lieu, la température constante. Le premier terme de la formule (31) s'évanouit. Le second, qui subsiste seul, a déjà été évalué (20). Nous obtenons ainsi Vëquation de Navier (') :
^9 Pt
On aura, en particulier, pour l'air atmosphérique, avec un logarithme ordinaire, et en introduisant le rapport p des pressions :
|^= 67,42 «Logp,
u = 36,368 vTLôgp.
(') NaTÎer. Mémoire sur l'écoulement des fluides élastiques. Mémoire* de C Académie deê êciencet, 1829, t. IX, p. 31i.
Pour prendre une idée, d'après un exemple effectif, de la vitesse que comporte ce genre d'écoulement, imaginons une température absolue de 300 degrés ('), et un rapport de pressions de moitié. On obtient, dans ces conditions :
u = 36,368 v/300 Log 2 = 345,60 ; plus de 345 mètres par seconde (').
290 — Écoulement adiabatique. — Envisageons enfin récoulement sans échange de chaleur. Si nous substituons dans réquation (31) la valeur (22), qui a été trouvée dans ce cas pour l'intégrale du travail externe, il vient :
tt
2^= (R -h Ec) («, - «.),
ou, d'après l'équation paramétrique (14) :
— ^kcE(t^ — g
(*) C'est-à-dire 27 degrés du thermomètre usuel.
(S) J'emprunte aux notes ajoutées par H. G. Richard à sa traduction du Manuel de la Machine à vapeur de W. Rankine (p. 648) le tableau suivant, qui présente les valeurs de la vitesse relatives à une certaine gradation du rapport des pressions :
PRESSIONS
