DÉBIT

FORMULE 6EMÉRALE

SM — L'équation de continuité établie dans l'étude de l'hydraulique (n* 19) régit encore l'écoulement d'une veine gazeuse. Seulement, il est nécessaire de ne pas perdre de vue que le débit en volume ne constitue plus une constante, comme cela avait lieu pour les liquides incompressibles. Ce caractère appartient exclusivement au débit en poids V, qui est le produit du poids spécifique xS par le débit en volume (ou, si co désigne l'aire de la section du filet gazeux. On obtient ainsi la nouvelle équation de continuité (/) :

(55) P = zsiùu.

On ne devra pas oublier que, pour appliquer cette formule à l'évaluation de l'écoulement par un orifice, en substituant pour u l'une des valeurs fournies par les équations (28 à 34), la lettre xnj devra représenter le poids spécifique correspondant à la section

(*) L'équation de continuité du mouvement des gaz sous forme de veine finie suppose, comme celle des liquides, l'hypothèse de la conservation des tranches. Il y a donc lieu de faire, en ce qui concerne l'état vibratoire de l'écoulement, la réserve qui a été déjà présentée cinlessus au n" 71. De Saint-Venant et Wantzel. Journal de C École Polytech" nique, XXVO* cahier, p. 90. — J. Haurat. Des mouvements vibratoires qui accompagnent récoulement des gaz et des liquides. Revue des cours scientifiques , 1868, p. 400.

OÙ se développe cette vitesse, c'est-à-dire à la pression de Tenceinle d'aval dans laquelle le déverse le courant ; puisqu'il a été admis jusqu'à nouvel ordre que la tension de cette dernière se propageait dans toute l'étendue de la section transversale.

Quant à celle-ci, nous la représenterons par mû, en appelant 0 l'aire de Torifice, et désignant par m un coefficient de contraction dont on ne peut, dans l'état actuel de la science, que demander la détermination à l'expérience. Rien n'autorise même d'une manière certaine à admettre a priori que ce facteur doive ôlre invariable pour un type d'orifice donné, et indépendant des pressions.

Il vient dans ces conditions, comme expression du débit en poids :

p = mcixZfU.

S92 — Avec un orifice en mince paroi (*), on adopte pour m une valeur :

un peu supérieure à celle 0,62 qui concerne l'écoulement de l'eau Pour un ajutage cylindrique on admet le chiffre :

dont l'écart est encore plus sensible par rapport à celui de Thydraulique:0,82(n^64).

Avec une tuyère convergente, on emploie le nombre :

qui diffère à peine du maximum 0,942 relatif aux liquides (n"66). tout en continuant à lui rester supérieur. On aurait enfin théoriquement :

(*) Daubuisson {Annale9\de9 mines, 1826. -^^raité dChydraulique^ p. 578]<

pour un orifice parfaitement évasé (n*" 43) ; bien que, dans la réalité, Ton n'arrive pas à dépasser la valeur 0,99 {*).

ËCOL'IiEllIEKT DANS LE VIDE

IS93 — Supposons que Ton ait réalisé le vide absolu sur le côté de la paroi opposé à celui qui maintient le fluide, et que, au fur et à mesure que l'écoulement se produit, on exti-aie le gaz de l'enceinte d'aval avec assez d'activité pour que l'on puisse continuer à admettre la condition limite :

Il y a lieu d'envisager successivement les conséquences auxquelles conduisent, pour ce cas hypothétique, les trois lois spéciales d'écoulement que nous avons étudiées ci-dessus.

L'hypothèse de la densité constante indique alors une vitesse finie :

Toutefois cette conception abstraite ne saurait se rattacher à aucune réalisation, même approximative, puisque l'équation typique (14) montre que si p, s'annule sans que v, devienne infini, la température t^ doit s'abaisser au zéro absolu»

L'écoulement isotherme présente un obstacle de même nature, car l'équation de Navicr (33) indique alors une vitesse infinie ; paradoxe apparent dont nous avons déjà fourni l'explication (page 4H, note 5).

Quant au mode adiabatique , il donne , d'après la formule de Weissbach (34) ♦ la valeur finie (*) î

(*) Macquorn EankinCi Écoulement de la vapeur , traduction pai' Viollet, 1870, p. t^. (') Cette circonstance a donné lieu à ime controverse intéressante, pour laquelle on

On a y pour le rapport de ces deux résultats :

tt" " V kEc

ou, d'après Téquation paramétrique (14) :

Le mode adiabatique conduirait donc à une vitesse presque double de la première.

Il vient en particulier pour l'air atmosphérique :

tt' = 23,966 v^, tt" = 44,444 v^iT

Si, par exemple, nous reprenons l'hypothèse qui nous a seni pour les applications précédentes (n** 280, 281) :

^ = 300, il viendra :

294 — Le débit en poids donne lieu à des observations analogues (35).

Dans l'écoulement à densité constante, il conserve une valeur finie, puisqu'il en est ainsi séparément pour la vitesse et pour le poids spécifique.

peut coiisullcr les sources suivantes : G. A. Hirn [Annaleê de chimie et de physigutt 6* série, t. VII. — Comptes rendus de V Académie des scietices, 12 juillet, 9 aoât, 20 septembre 1886. — Hecherches expérimentales et analytiques sur les lois de Vécoulement des gas, etc. Gautliier-Villars, 1886. — ïlecherches expérimentales sta^ la limite de la vitesse que prend un gaz^ etc. Gautliier-Villars, 1886. — Nouvelle réfutation générale des théories appelées cinétiques. Gauthier- Villars, 1886. — L'avenir du dynamisme dans les sciences physiques. — La critique moderne et le dynamisme de Vavenir. Gauthier-Villars, 1886. — Hecherches expérimentales et analytiques sur les lois de Vécoulement et du choc des gaz en fonction de la température. Gauthier- Villars, 1886). — Clausius. Bulletin de V Académie royale de Belgique, 3" série, t. Il n* 3, 1886. — Hugoniot. Comptes rendus de V Académie des sciences, 28 juin, 26 juillet 1886 ; t. cm, p. 241 . — Parenty. Ibidem, 5 avril, 12 juillet 1886. — Giannantouio Zanon La cinetica combattuta et vinta da G. A, Hirn. Roma, in-S"*, 1887.

En ce qui concerne le mode isotherme, nous avons v vilesse augmente indétîniment. De son cAté, le poids s tend vers zéro, puisqu'il varie en raison directe de la d'après la loi de Mariotte. De là une indétermination a qu'il est facile d'écarter.

Nous avons en effet, pour l'expression de ri,u (55), sau tcur constant :

Les deux termes de cette fraction deviennent à la fois i donc nous leur substituons respectivement leurs dérivées, Diinateur deviendra l'unité et le numérateur sera remplao

Sv'îp 2p\/ïp

Actuellement, les deux facteurs de ce nouveau dénominate sant à la fois au delà de toute limite, la fraction s'annule ainsi que le débit en poids tend vci's zéro ; la raréfaction rant encore plus que la rapidité du mouvement.

Avec l'écoulement adiabatique, il s'opère de môme une lion indéfinie, puisque pv" doit demeurer constant (23), t Icmps quep tend vers zéro. On a vu d'ailleui-s que la vitesst alors une limite finie u". Le débit tend donc encore vers a

Ces singularités analytiques ne présenteraient pas p mêmes un grand intérêt, si elles ne mettaient en évit l'ésultat fort important. On voit en effet que, dans ces deux modes, le débit tend à s'annuler, tout aussi bien loi'squc sions tendent vers l'égalité, que lorsqu'elles s'écartent au possible l'une de l'autre. 11 doit donc exister dans Tintera certaine valeur du rapport des pressions, pour laquelle la atteint son maximum. Proposons-nous d'en effectuer la nation.

448 THERMODYNÀUIQUE.

§3 ECOULEHBIVT MAXIIIIIJIII

ft9B — Écoulement isotherme. — L'équalion de continuité (35) nous montre que ce maximum se produira en même temps que celui de la fonction xiS^u.

Si l'écoulement a lieu suivant le mode isotherme, nous avons vu que cette fonction renferme, sauf un coefficient constant, le facteur :

Il suffira, pour la recherche du maximum, d'en envisager le carré :

et d'égaler à zéro la dérivée de ce dernier :

-1 ^ Lp = 0,

ce qui donne :

Up = 1,

L(p') = \ = Le,

Le maximum du débit en poids s^ obtient doncj dans le mode isotherme, lorsque Von détend la pression à peu près dans le rapport de 5 d 3.

La vitesse prend alors la valeur :

el, en paiiiculier, pour l'air atmosphérique :

Quant à la valeur maximum du débit, elle se présente sous a forme suivante :

P = mûcTsU = mû ^glM . o,' = mû W g . /?,v, . — -

et enfin :

= mû v/^f— = »»û Kl Q-^^— = ^û K/ff— — * P = mû i/l. . A = l,8996mû i/Â.

S9II — Écoulement adiabatique. — La fonction qu'il s'agit de

rendre maximum x6^u, ou —, peut ôtre remplacée, pour cette re-

cherche, par son carré —i» D'après la formule de Weissbach (34),

on peut également substituer à ce dernier, sauf un facteur constant :

tj — t,

ou, d'après la relation (24) :

c'est-à-dire enfin, en continuant à supprimer les facteurs invariables :

(ti - g^*"'

L'équation dérivée par rapport à l^ sera donc :

2 Tfn-'

Multiplions par (k — 1) ^, fc-i, il viendra :

2(^1 - U) - (k - 1)/, = 0, et enfin :

Cette condition très simple peut encore s'exprimer en fonction du rapport des pressions. On a en effet alors (25) :

' = ^ = fâ^ = (^)^ = '•»!"■

On voit par là que le maximum du débit en poids s'obtient, dan$ le mode adiabatique, lorsque Von détend la pression à peu près à moitié.

La vitesse est dans ce cas (34) :

c'est-à-dire :

et, en particulier, pour Tair atmosphérique :

u = 18,532 v/îj.

On remarquera que le rapport de cette vitesse à celle qui correspond au maximum de l'écoulement isotherme a pour expression :

Quant à la valeur maximum du débit pour le mode adiabatiquc. elle sera la suivante :

Ecoulement b-dn gaz par un orifice. — débit.

et enfin :

t de ce débit tnasimum à celui du 1

Le rapport de ce débit tnasimum à celui du mode isotherme a pour valeur :