V U TS

Mais la relation (4) donne, en difîérenciant les logarithmes de ses deux membres :

et réquation (29) :

V "f- dv, Iv dv

après que Ton aura exprimé p en fonction de v, d'après l'équation spéciale destinée à définir, dans chaque cas, le mode d'écoulement que l'on se propose d'envisager. Il vient ainsi, en intégrant à partir de l'état initial v, du volume spécifique variable v, et intervertissant à la fois le signe et les limites de l'intégrale :

V /^"« dv

^98 — Considérons en premier lieu récoulcmcnt isotherme

vv = lU, p = — >

dp___JU J/? R/

dv V* dv r

J' t 'v ^ dv = R/L— .

V dv V

La seconde quadrature donne ensuite :

■ (h 1 /*"' dv

Il vient donc :

Il serait d'ailleurs facile de résoudre inversement cette équation, de manière à exprimer directement p en fonction de t.

Quant à la durée totale t' du remplissage isotherme, elle sera fournie par l'hypothèse p = p, :

£99 — Envisageons de môme Técoulement adiaba tique .

La seconde quadrature donne ensuite :

/dv i ^'* dv

i-ft

Rour effectuer cette intégration, nous prendrons comme variable auxiliaire :

iLx = (1 — k)Lv — (1 — k)LVi,

On peut donc écrire, en changeant à la fois le signe et les limites :

/Pt dv

— 2 r^ dx

et, par suite :

"" mû yj gk{k—\yMy^ Ll

ou, enfin :

"" mû V ^A-{^'--l)IUj

fc— 1

\/'-(frr

300 — Nous pouvons également résoudre cette équation par rapport à p en fonction de t. Il vient en effet :

Si l'on multiplie respectivement les deux termes de ces fractions par:

\ — \l 1 — X}, et \ — )/ 1 — x^\

on aura, après simplification :

X X. mÛT /^kjk — im^

1 yj i — j? \ sj \ — x^'

d'où, en prenant les inverses des deux membres :

i vn^r^ i-v^-nir^ ,-Tv/^

Si Ton ajoute maintenant avec l'équation précédente, on obtient :

r / , \ rnù-, /k{k-i)gRt, , v wût /k{k-i)glM,

c'est-à-dire, en rendant à a: et a;, leurs valeurs :

\pJ 1 r / , .fc-ii «Qx /

mûT . /fc{A — DflfR/,

Telle est l'expression de p en fonction de t.

301 — La durée complète t" du remplissage adiabatique s'obtiendra en supposant p = p, , ce qui donne :

ou enfin :

Si l'on remet pour m, k, g, R leurs valeurs numériques, et que l'on ait soin de multiplier le résultat par le module 2,5026 des

THERMODWAMIQUE.

logarithmes ordinaires, afin de les substituer au système népérien, on obtiendra cette formule très simple :

t" = 0,3883 -^ Log [?«.*«*+ \/p<>.««<>«— il.

Pour un récipient d'un mètre cube et un orifice circulaire d*un décimètre de diamètre, nous pouvons former le tableau suivant, d'après une certaine gradation du rapport des pressions :

RAPPORT