PRESSION DAIVS LA ¥BIME

304 — C'est d'après une hypothèse gratuite que nous avons, au début de cette étude (n° 285), étendu à l'écoulement d'un gaz la règle admise pour celui des liquides (n** 40), relativement à la constance, dans toute l'étendue de la section contractée, d'une pression égale à celle de l'enceinte au milieu de laquelle s'opère le déversement. Cette supposition était en effet naturelle, et elle a été longtemps acceptée sans conteste. Les premiers doutes émis à ce sujet ont clé formulés en 1839 par de Saint- Venant et Wantzel(*). Le capitaine llugoniot est revenu récemment sur ce point, qu'il a beaucoup contribué à élucider (*) .

Si l'on applique aux diverses tranches de la veine fluide l'équation de continuité (35), en y déterminant la vitesse u d'après l'équation des forces vives (29), on peut exprimer de la manière suivante la section variable de la veine fluide :

vsu

Le minimum de (o correspond donc au maximum delà fonction tiju. Or cette dernière recherche a été précisément effectuée ci-dessus

En continuant à désigner par p^ la pression en amont, en des points assez reculés pour que l'on y puisse considérer le fluide comme stagnant, et par p la tension dans une section quelconque, nous avons reconnu que le maximum avait lieu, avec le mode isotherme, pour la valeur :

^ = 4= = 0,6065 ; Pi \Je

(*) De Saint-Venant et Wantzel. Mémoires et expériences sur récoulement de Tair

.' 7'rV-'

et, dans les conditions adiabatiques^ lorsque Ton a :

Nous désignerons par a la valeur spéciale de celui de ces rapports de pressions qui sera relatif au mode envisagé :

ii = a, a < 1.

Pi

SOS — Distinguons actuellement deux cas. Si la force élastique p, de l'enceinte d'aval est supérieure à ap,, la tension qui décroit progressivement à partir de la pression d'amont />„ ne pouvant, bien entendu, s'abaisser au-dessous de Pj, et, par suite, de a/>,, ne saurait atteindre la valeur qui correspond au minimum de <i). La section ne pourra donc recommencer à croître, après une phase de décroissance; on n'aura pas, à proprement parler, de section contractée, et le calibre de la veine ira «toujours en diminuant. En même temps la pression p, incessamment décroissante d'un bout à Tautre de la veine, finira par s'abaisser jusqu'à la tension p, qui règne dans Tenceinte d'aval. On pourra par conséquent considérer alors comme réalisée l'hypothèse qui nous occupe.

Si, au contraire, la pression d'aval p, est inférieure au produit ap^, la tension p variable le long du jet gazeux passera par cette valeur ap, avant de s'abaisser jusqu'à p,. A ce moment, Taire w deviendra minimum, ainsi que nous venons de le voir. Il y aura véritablement une section contractée, et l'on pourra la rapporter à la surface immédiatement connue O de l'orifice, au moyen d*un coefficient de contraction m déterminé, bien qu'inconnu a priori. 11 sera dès lors facile d'exprimer le débit de l'écoulement à l'aide

déterminé par des difTérenccs de pression considérables. Journal de VÉcole Polytechnique, XX VU* cahier, p. 102« — Hugoniot [Comptée rendus de V Académie des sciences ^ l. eu. p. 1545; cm, 241 « llTSi 1255i — Annales de chimie et de physique^ novembre 1886).

de ces éléments et de la vitesse correspondante , déduite des formules de Navier (33) ou de Weissbach (34). Mais il est dans ce cas très essentiel, pour l'application de ces équations, de noter que la pression qu'il y aura lieu d'y introduire n'est plus alors p, , mais bien ap,. La vitesse se trouve déterminée dans ce cas, en fonction de la tension d'amont/?,, quelle que soit celle d'aval p,.

Si, pour fixer encore davantage le langage, nous nous bornons en ce moment au mode adiabatique, et que, pour simplifier autant

que possible les énoncés, nous réduisions à a = ^ la valeur 0,522

indiquée ci-dessus, on voit que c'est avec les faibles chutes de pression que la force élastique qui se développe dans la veine peut être égale à la tension d'aval^ à savoir celles pour lesquelles le

rapport — des pressions est supérieur à { ('). Pour les grandes dé- Pi

tentes, au contraire, dans lesquelles ce rapport est moindre que {, la tension de la veine ne peut s'abaisser au-dessous de la moitié de la pression d'amont, et cette limite s'observera dans la section contractée.

306 — A Taide de ces lumières nouvelles, nous pouvons maintenant revenir sur la théorie de l'écoulement varié pour y introduire ces distinctions.

Attachons-nous d'abord au cas des faibles détentes, c'est-à-dire celui pour lequel les valeurs initiales des pressions satisfont à la relation :

Pt > <^Pif P < â'

Dans le cas du remplissage d'un récipient, p^ est fixe, et la pression d'aval va en croissant à partir de p,; pour la vidange, au contraire, p, reste constant, et la tension d'amont diminue sans cesse à partir dep^. De l'une ou l'autre manière, on voit que l'inégalité précédente, supposée vérifiée à l'instant initial, subsistera

(*) L'exactitude de cette proposition avait, en effet, été vérifiée parles expériences de Weissbach pour des pressions s'élevant jusqu'au double de la tension extérieure (Macquom Rankine. Sur les lois de Vécoulement de la vapeur,, traduction par VioUet 1870, p. 38).

a fortiori pendant toute la durée du phénomène. On pourra donc, d'après ce qui précède, admettre incessamment que la pression intérieure de Tècoulement ne diffère pas de celle de l'enceinte d'aval. Nos formules s'appliqueront alors sans modification.

Pour le cas des grandes chutes de pression, dans lequel les valeurs initiales satisfont à la condition :

Ih < «Pi» P > â'

il est, au contraire, indispensable d'opérer une distinction. Les remarques précédentes montrent que l'inégalité tend alors à s'atténuer, à mesure que le temps s'écoule. Il viendra un instant où elle sera remplacée par l'égalité, pour se renverser ensuite en sens contraire.

Pendant cette seconde partie de l'écoulement, les formules pourront encore s'appliquer. Il est môme à remarquer que le calcul en peut être effectué une fois pour toutes j puisque cette phase s'étend toujours entre les mêmes limites du rapport des pressions, à

savoir - et 1.

Durant toute la première période, au contraire, on rentre dans les conditions du mouvement permanent, puisque l'on a en amont la tension fixe p^ du compresseur, et en aval la pression constante 0Lp^. Le débit est donc alors simplement proportionnel au temps.

307 — Ilugoniot a effectué tous ces calculs (^), et évalué numériquement leâ intégrales définies auxquelles ils conduisent. II a trouvé pour la durée totale du remplissage, dans le mode isotherme :

c'est-à-dire :

[*} Compte» rendus de VAcmUmic des sciences^ l. Cl II, p. 922, 1002.

et, avec l'écoulement adiabatique :

m û v/jfR^

c'est-à-dire :

V 2ifc , /"l ï±}

Va* — a *

Pour le problème de la vidange, il vient de même, dans le mode isotherme :

V / tap •

mci^'lgiit

dx \,

c'est-à-dire :

û v/2jlU

(0,120 H- 1,212 Logp);

et, avec la loi adiabatique :

c'est-à-dire :

Ces formules montrent notamment que le temps nécessaire pour remplir un réservoir est bien inférieur à celui qu'il met à se vider.

CUAPITKE XVll ÉCOULEMENT D'UN GAZ DANS UN TU

FOKBIij'LEIt SilKÉBALES

308 — Equation fondamentale. — Pour étudier le m des gnz dans un tuyau d'une longueur notable ('), nous apf encore l'équation des forces vives qui nous a conduits à 1; |29|, mais en ayant soin d'y rétablir les deux influences t aïons négligé l'inlluence dans le cas précédent, ce qui i [tcrmis en raison de la faible étendue du parcours, à pesanteur et le frottement.

Si nous diflërencions l'équation (29), en ayant égard ai limites de Tinlégralc, il vient (*) :

('I Combes. Mémoire tur le movvemenl de Cair dam lei tuyaux de eoti IKO. — DaubuUson. Du mouvement de l'air dans leatuyaui de conduite. drtuliqur. p. 586. — Navîer, Mémoire sur l'écoulement des fluides éla: In lut'aux. liémoira de F Académie det tcitacei. 1820. — Grastinf. Étude lïiiient permaneol des git dans le» luvnuï. Revue universelle de* mi «UlaUurgie, I. XKTII, p. SI . 3S7. Mt ; \&\, p. 103. — Gii-ard. Némuii'e sur unironnc de l'eau et des gaz dans les tuyaux de conduite, in-8'. — Slock riences au Sainl-Golhard sur leconlcmeiit de l'air comprimé eu long:ues c( liiJiques. Revue unîcerietle det minée et de la métallurgie. S* série, t. — Poncelel. Leçont lilhographiéet de l'École de Meli. — l'écler. Trailé d eaniidérie daiu lei application*. 3* édition, t. I. u- Ï98 ; l. III, »■ 38. — dephyti^ue indutlrielie , \. 1,1887.

.*] Voir (n* IDô, note) les eiplicalions peimetlanl d'exprimer la force i lion de la Tiles^e moyenne u qui se développe d.ins la section considérée.

On se rappelle que cette relation se trouve appliquée à Tunilé de poids du gaz, d'après les explications du n° 286. Le travail de la pesanteur se réduira donc à — dz, en représentant par z Tallilude au-dessus d'un plan de comparaison inférieur.

En ce qui concerne le frottement, il sera (n° 71) pour un tronçon fluide de longueur ds :

(58) cyz<p(w)^/s,

si l'on désigne par x le périmètre de la section, et par ç (m) une fonction empirique de la vitesse moyenne u (*). Son travail est par conséquent :

T3y,ç{u)ds . udx.

Pour avoir, ainsi qu'il vient d'être dit, le travail par unité de poids. nous diviserons par le débil en poids xiQud-ç qui passe pendant le temps considéré d-r :

— -g- 9{u)ds,

en attribuant le signe négatif au quotient, puisqu'il s'agit d'un travail résistant.

L'équation ainsi complétée deviendra :

udu dp , X / V , /»

si l'on ramène dans le premier membre les termes du second, qui sont tous affectés du signe négatif.

Lorsque la forme du tuyau sera complètement déterminée a priori 2, X, Q constitueront des fonctions connues de «. On possédera en second lieu l'équation de continuité (35) :

P = CTÛM,

(') 11 est toutefois très essentiel de reinai*quer que la mise en cvideuce du \M< spécillquc gt ne constituait, dans le cas des liquides, ]H)ur lesquels ce fadeur est constant, qu'une simplilication de notations, nullement nécessaire en elle-même. Pour le$ gaz, au conti'aire, elle exprime une véritable loi empirique, à joindre i celles qui ont été déjà formulées sur ce sujet (n" 71).

ÉCOULEMENT D'US GAZ DANS UN TUYAll. 461

qui permet, d'une manière générale, de remplacer u en fonction de jS. II restera, en troisième lieu, à fournir dans chaque cas particulier une relation entre p et v, ou entre p et vi, pour définir la ti-ansformalion que subit le gaz tout le long du trajet.

On obtiendra alors, en éliminant encore rf à l'aide de cette condition, une équation dilTèrentielle entre p et g. Si l'on réussit à l'iolégrer, on connaîtra ainsi, pour un point quelconque de la conduite, désigné par la valeur de s, la pression p qui s'exerce en ce lieu. Un en déduira, d'après l'équation directement fournie, le poids spécifique xS, et par l'équation de continuité, la vitesse u. La question se trouvera ainsi complètement résolue.

309 — Envisageons, par exemple, un tuyau rectilignc incliné sous l'angle i par rapport à l'horizon ; l'on aura :

Si ce tuyau est cylindrique, /, et Û deviendront des constantes; cl s'il est de section ronde ('), ayant pour diamètre D, il viendra (75) ;

En ce qui concerne la forme de la fonction empirique <f (u), on choisit, en général, parmi les divers types qui ont été mis en avant à l'occasion des liquides (n" 72), ie plus simple de tous :

avec le coefficient (') :

(') Pour conduire, sur une dislance de 33 kilomélrcs, et arec une pression de 35 atmoipfaércs, le gai naturel des puits de Pennsylvanie jusqu'à la viUe de Pitisburg:, on a employé la forme lélescopigue, qui est caractérisée par un diamèlre croissant [a' 8!]. U plus pelilc section se trouvant prés du puJU. la vitesse y est maximiun, et, d'après le IhËorème de Eternoulli (n° 30). la pression [ninimuin; coqui lend i faciliter le déponent (Génie eùil; t. XIII, p. 300).

il Celte valeur, proposée par Daubuisson pour un tuyau métallique, doit subir des Diodifications importantes lor<qu'il s'agit de la circulation de l'air dans uo réseau de invatu souterrains plus ou pioins compliqués, J'en ai cité plusieurs eiemplca (Ha(on

Si nous introduisons ces diverses hypothèses dans IVquation générale, elle prend la forme :

udu

dp

ds sin i

u*ds = 0.

31 0 — Écoulement isotherme. — Pour présenter un exemple de rintégration complète de cette formule, nous supposerons que les échanges de chaleur soient tellement gi*adués le long du tuyau, que la température demeure constante. La relation à fournir directement sera dès lors la loi de Mariette :

ry

Pi

L'équation de continuité donne dans ces conditions

du = '--

PPl fip

QWi p*

de la Goupillière. Cours d'Exploitation des mines, t. II, p. 389). Le cocflicient le plus usité dans ce cas est celui qui a été indiqué par H. Devillez : 0«0018. M. Pochct emploie la valeur 0,000 367 ; mais u désigne pour lui la vitesse à la paroi, et non U viteue moyenne comme nous le supposons ici [Nouvelle Mécanique industrielle, p. 268'. M. Arson a été conduit par un ensemble considérable d'expériences sur la canalisation du gaz d'éclairage, a admettre des résultats analogues à ceux qui ont été obtenus aver l'eau par Darcy (n® 72). Il a donné des tables très étendues pour faire connaître la valeur que prend, suivant les circonstances, la jMirtc de charge (Arson i Monard et HonoK*. Expériences sur l'écoulement des gaz en longues conduites. Mémoires de la Société de* Ingénieurs civils, 1867). Il a également indiqué, en employant la formule de De Prony au -|- bu ', les valeurs suivantes des coefficients, pour des diamètres gi*adués des tuyaux :