CHAPITRE XXII REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE

EErRÉHENTATIOlf DES CHAKCïEHIENT» D'ÉTAT

371 — Les considérations que nous avons eu à présenter jusqu'ici restaient assez simples pour que Tesprit pût les suivre directement. Mais il deviendrait maintenant difficile d'aller plus loin sans lui apporter le secours d'un mode de représentation géométrique très précieux pour cet ordre de considérations.

Nous avons vu qu'en raison de l'équation-typique, qu'il est toujours nécessaire de posséder pour Tétude d'un corps déterminé, deux seulement des trois variables t^p^v restent indépendantes, la troisième s'en déduisant toujours d'une manière nécessaire. C'est ordinairement la température que l'on détermine au moyen de cette condition, lorsque les valeurs de p cl v ont été assignées directement. Une transformation quelconque sera donc caractérisée par une relation entre ces deux derniers éléments, ou, si l'on veut, par le tracé géométrique de la courbe dont cette formule serait lequation. Ce mode de figuration est d'autant plus précieux qu'il subsiste en toute circonstance, pour des contours discontinus, ou même pour des profils produits par l'enregistrement de conditions fortuites, dont la représentation analytique deviendrait ou très compliquée ou mémo tout à fait impossible.

On prend, à cet effet, deux axes rectangulaires (fig. 25(5), dont

TUEUMODYNAMIOUE.

Tun, des abscisses, Ov scit à représenter les volumes, et Taiilre Op. des ordonnées, les pressions. On convient, pour cela, d'adopter une longueur arbitrairement choisie, mais déterminée, 0»,, pour

désigner Tu ni té de volume. Un volume quelconque v sera dès loi's marqué par une abscisse Om égale à V fois Téchelle Ov^. On adopte également, pour représenter l'unité de pression , une longueur arbitraire Op,, généralement différente de la première, avec laquelle elle ne présente aucune relation nécessaire. On porte alors la pression en ordonnée suivant mM.

L'exirémité M de cette droite est appelée point rcprésenlalif âc Vélal (p, V, i). Il suffit, inversement, de connaître un tel point figuratif pour en déduire, par son ordonnée et son abscisse, la pression et le volume, après quoi l'équation-typique fournît la température. A chaque point du plan correspond donc un état du corps parfaitement déterminé. Un tracé quelconque M,M, représente d'après cela une succession d*états bien définis, c'est-à-dire une transformation ou évolution, partant d'un élat initial fourni par rcxlrémité Mp et aboutissant à Vétat final M,. Présentons, à cet égard. quelques exemples.

Fig. iV).

372 — Un changement d'état à pression constante serait ligure {)ar une droite horizontale; puisque la pression est représentée par l'ordonnée.

Un changement d'état à volume constant sera caractérisé par une droite verticale; le volume étant fourni par l'abscisse.

Une transformation isotherme sera, pour un gaz parfait, représentée par un arc d'hyperbole équilatère admettant pour asymptotes les axes coordonnés. Une telle évolution est, en effet, soumise à la loi de Mariotte, c'est-à-dire déterminée par l'équaliou :

pv = coust.

KEPRKSEyrATlON GÉOMKTUIQlJli

ïne transformation adiabatiquc sera, pour les inùmcs corps, marquée par un arc de la courbe binôme d'ordre k = i/kl :

pv^ = const.

puisqu'elle doit être réglée par la loi de Laplace (*).

n est souvent utile de se représenter tout Tensemble du plan comme sillonné par deux familles de courbes isothermes et adiabaliques, qui seraient représentées par les équations précédentes, dans lesquelles on attribuerait par la pensée à la constante arbitraire une succession de valeurs graduées.

Leparamèti'e des premières sera la température absolue/. On pourrait également choisir pour cet office n'importe quelle fonction bien déterminée de celte variable; mais une telle manière de procéder serait évidemment moins simple.

Le long de chaque adiabatique, c'est l'entropie s (éq. 2G) qui resle invariable, puisque l'équalion différentielle de ces courbes esl dQ = 0. Nous l'adopterons comme paramètre de cette seconde famille de courbes.

En ce qui concerne, pour chaque point, la disposition respeclive des deux lignes de ce réseau (fig. 237), il est bon de remarquer que, lorsque l'on s'avance dans le sens positif de l'axe des abscisses, ce qui l'evicnt à supposer une dilatation du gaz, l'adiabatique MA plonge au-dessous de I isotherme Mf, et se rapproche plus rapidement qu'elle de Taxe dos volumes. On déduit en effet de l'équation (50), qui représenle i la fois ces deux familles de courbes, suivant que l'on attribue parla pensée à l'exposant les valeurs 1 ou 1,41 :

dv V

Fij. 257.

Cr Les eourUes adiabaliques de Rankinc ont aussi ûtc appelées par Vcrdct lignes de HuUe trantminion, cl par Gibs [Trantaclioiië of Uic ConnecUcul Acad.^ l. U, p. 500]

500 TUERMOD^TIAMIQUE.

Le signe négatif exprime que la tangente MT fait avec le sens positif de l'axe Ov un angle obtus, dont -^ mesure la tangente tiî-

gonométrique. La valeur absolue A- de cette dernière correspond

donc à Fangle supplémentaire MTO, et comme elle s'accroît avec A-, l'on voit que la droite MT se rapproche de la verticale à mesiiitî que cet exposant augmente , c'est-à-dire quand on passe de Tisotherme à l'adiabatique.

373 — Cette circonstance peut être rattachée à une loi plus générale, en ce qjui concerne l'interprétation concrète des tracés représentatifs. Toute courbe qui, comme MI, se trouve au-dessus de l'adiabatique MA lorsque l'on s'avance dans le sens positif de l'axe des abscisses, représente une transformation accompagnée d'une absorption de chaleur aux dépens de l'enceinte (*). Toute ligne MJ inférieure à l'adiabatique correspond au contraire à une évolution 'de nalure à rendre de la chaleur aux objets environnants.

En effet, pour une même abscisse quelconque Om\ l'ordonnée de la courbe MI est plus grande que celle de l'adiabatique MA. La pression, après une dilatation mm\ sera donc supérieure à la valeur qu'elle prendrait sans absorption de chaleur. Par conséquent, elle a nécessité une fourniture de calorique. Le contraire a lieu avec la courbe MJ.

REPRËfi^E^TATIOIV DtJ TRAVAIL

374 — 11 est facile de trouver sur la figure la rcprésenlalion du travail externe qui a pour expression (*) :

pdv.

courbes i$enlropiques, aUendu que Tentropic reste constante le long de chacune d'elles. — Hallstein. Sur les lignes adiabatiques. Âcla Socielati* scientiarum fennicx. Helsingfors, t. X, p. 451.

(') La transformation isollicrmc rentre, en eflct, dans cette catégorie, car elle eiipe

RKPRÉSESTATIOH GÉOMÉIBIQUE. UOi

Eu effel, pdv constitue (fig. 256) la différcniielle de ï'aire HH'mm' de la courbe qui a pour abscisse et ordonnée courantes E et p. L'intégrale définie correspond donc à l'aire finie M,M,m,m,, rlendue depuis le point figuratif initial M, jusqu'au point final M,. Il reste toutefois à connaître l'interprétation de cette mesure ^ométrîque comme nombre de kilogrammètres. Si l'on imagine, à cet égard, une transformation à tension constante elTecluée sous l'unité de pression, elle sera représentée par l'horizontale p,it menée par le point;',. En la suivant jusqu'à ce qu'un volume initial quelconque ait subi une augmentation égale à l'unité de volume, on devra avoir pour la longueur p,[A de cette horizon laie l'échelle même des volumes Ou,. L'aire qui correspond à cette transformation spéciale sera donc celle du rectangle des échelle» 0/),t',|jL. Mais l'intégrale définie qui mesure alors le travail est évidemment égale à \. Concluons donc que l'unité de travail est représentée par le rectangle des échelles adoptées pour le volume cl la pression.

375 — Il est facile, d'après une reman|UO de Cazin, de trouver sur l'épure représentative la variation d'énergie intérieure p qui accompagne corrélativement la production d'un travail exleme proposé; et, par conséquent, d'après la somme des deux quantités, l'expression de la chaleur totale

à fournir pour la production t

de ce travail externe, suivant >

la loi de transformation con- ( sidérée. ' ^.^"^

Soient en effet (fig. 258) M, l'état initial. M, l'état final d'un gaz, et M,M, la ligne figurative de la loi de transformation qui fait passer elTeclivement de l'un à

i\ue le (RU reçoive de la cliulcur pour que la température puisse rester nulgii- la diltlatiun.

59S THERMODYHAillUUE.

l'autre. L'aire M,M,m,m, représente, à l'échelle, le travail eilonie accompli dans cette évolution. L'iSnergïc intérieure s'est accrue l'ii même temps, parce que la température a passé de (, it (, (éq. 18). Imaginons qu'on la ramène de /, à t„ c'est-à-dire que l'on fasse passer le point représentatif, de l'isotherme I, a l'isotherme 1,, rii suivant, à partir de l'état final M,, l'adiabatique A,. C'est en K que ce résultat sera obtenu. Mais comme celte opération subséquente aura été accomplie sans aucun échange thermique avec l'extérieur, toute l'énergie abandonnée par le gaz aura passé m travail externe. Elle sei'a donc exactement fournie par l'aire M,Km,it. représentative du travail externe de la transfoi'mation M,K. De lii cette construction :

Pour obtenir la variation d'énergie interne qui accomjxigne corrt'lalivement le travail externe M,M,m,m, développé dans une transformation quelconque M, M,, on tracera jusqu'à leur rencontre mutuelle K l'isotherme M,K de l'état initial M, et Vadiabatique M,K de Vélat final M,. L'aire M,Km,fc subordonnée à cet arc d^adiabalique représentera, d'après l'échelle des travaux, le résultat cherché.

■ \^ La quantité totale do clia-

■* leur Q qu'il est nécessiiin"

de fournir pour un cliangi'mcnt d'état accompli suivant une loi quelconque M,U. est donc représentée, à IVchello des travaux, par l'aiii' m.M.M.KA-.

Nous noterons en passant un élégant Ihéorème de 4 Cazin. qui consiste en re

y. jjj, que les aires M', M', m', m',.

iA°^^i',m'\m.'',...., desdivers

segments d'adiabatiques quelconque* A', A" qui se trovrent

compris entre deux isothermes déterminées I,, I, ((ig. 2.Ï9). sont toutes équivalentes. En effet ces surfaces représentent le travail effectué sans aucun emprunt do chaleur à l'extérieur. Il est donc

REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQIE.

équivalent à la variation de chaleur interne; et celle-ci ne dépend Icq. 18) que des températures extrêmes, lesquelles restent invariables le long des courbes !,,!,.

CYCLE» FERHÉ»

376 — Cycles fermés. — Nous avons déjà dit que Ton appelle ojde fermé y ou simplement cycle ^ une transformation qui, partant d'un certain état initial arbitraire, y ramène finalement le corps après une succession quelconque d'états intermédiaires. La ligne figurative d'un cycle sera donc une courbe fermée MoAM^BM'Mo (fig. 240).

Quant au point M^^ qui sert à représenter tout à la fois l'état initial et l'état final, il reste arbitraire sur le contour du cycle, et l'on peut concevoir que l'on reproduise la même série d'états consécutifs dans le même ordre, en commençant et finissant par l'un quelconque de ceux qui se sont succédé dans une expérience précédente.

Envisageons les volumes extrêmes Om' et Om' qui sont fournis par les points de contact M' et M" des tangentes menées parallèlement à Taxe des ordonnées, et prenons M' comme point initial, puisque ce choix reste à notre disposition. L'évolution comporte v\oY% deux phases distinctes, l'une de dilatation marquée par M'AM", et l'autre de rétraction figurée par M^BM'. Dans la première, le phénomène a donné lieu à un développement de travail externe, qui se trouve représente par l'aire m'M'AMW. Pendant la seconde, au contraire, il a fallu, pour ramener le gaz à un volume moindre, exercer sur lui un travail de compression dont chaque élément est mesuré par — pdv^ et le total égal en

THERMODYiNAMIUUE.

valeur absolue à Taire m^M^BMW. Rien n'cinpôclic, du rcsk\ d'imaginer, qu'ayant mis en réserve une partie du travail fourni par la première partie de l'opération, Ton en reprenne ensuite possession pour raflecter aux besoins de la seconde phase. De cette manière, l'expérience, après s'être suffi à elle-même, laisse finalement disponible un excédent de travail qui se solde par la diflerence de la première partie et de la seconde :

m'M'.yfm" — m'WBWm' = M'AM^B,

représentée par ïaire intérieure du noyau complais dans la courbe fermée.

11 peut arriver, et nous en verrons des exemples (*), que la courbe se coupe elle-môme en certains points appelés nœuds. Le résultat final est alors la somme algébrique des divers noyaux; ceux-ci devenant négatifs lorsque la portion résistante du contour représentatif passe au-dessus de la partie motrice.

877 — Cycle de Carnot. — Comme premier exemple de cycles fermés, je citerai celui qui est formé (fig. 241) de deux horizontales et de deux verticales M'^M'^M'^M",. Le corps, partant de l'état initial M',, subit, à pression constante, à Taide d'une certaine addition de chaleur, une dilatation figurée par m'm\ Il éprouve ensuite, sous volume constant, une chute de pression représentée par M^^M",. En troisième lieu, il subit à pression constante.

Fi{?. 241. *^

par soustraction de chaleur, une rétraction m^'m' égale à sa premièixî expansion. Enfin la pression remonte, à volume constant, suivant H',M',, jusqu'à sa valeur initiale.

'«) >•« 418 cl 424.