DES ËCDA1V«ES DE CHAI^EUR

602 — M. Dwelshauvers-Dery a institué une ingénieuse méthode

{*) Ch. Jul. et Sylv. Béer. Quelques noietêurle travail de la vapeur dans le* machine* à un cylindre^ in-^% Liège, 1880, p. 38. — Sinigaglia. Traité dee machines à vapeur. Traduction par de billy, p. 48.

H. Delafond a en efTet constaté une perte en élevant successivement dans ses expériences la pression de 4^',50 à 0'',50 et 7^,75 [Essais effectués, etc., § V).

Certaines tentatives ont au contraire été poussées à outrance, en ce qui concerne la pression. — Loftus Perkinsa construit une machine de 25 atmosphères [The Engineer. 1877, t. I, p. 390. — I nstitu te of civil Engineers, 7 mai 1878. — Flanncry. The construction of stcam Doilers adopted for very high Pressure. Meeting de F Institution des Ingénieurs mécaniciens. Londres, juin 1877. — llaton de la Goupilliérc. Annales des Mines, juiUet-aoïU 1879, p. 130). — Alban a même porté la tension jusqu'à G3 atmosphéi*cs (Ernest Alban. The high Pressure steam Engine, Londres, 1847. — Tliurston. Histoire de la machine à vapeur, traduction par llirsch, t. U. p. 104).

pour l'étude expérimenlale des échanges calorifiques entre la vapeur et les parois (*).

Envisageons d'abord la période d'admission. L'équation (1) nous fournit pour l'expression de la chaleur cédée aux parois :

Q. = mUo + MX — (M + m) U, — AT. — ç».

Le poids M s'évalue directement ; T. est fourni par l'indicateur ; on peut calculer q^ par la méthode de M. Leloutre ('). Le poids m, que Ton suppose formé de vapeur sèche, a pour valeur v^ct^, si v^ désigne le volume de l'espace libre et CTo le poids spécifique de la vapeur, qui est fourni par les tables. La valeur de Bq C) est égale à ii^ H- Po» et celle de D^ à ja, + p,a?j, si x^ désigne le rapport :

de la quantité de vapeur, prise dans les conditions finales de l'admission, au total fonctionnant M -f- m, qui se trouve compris à ce moment sous le volume V^.

Examinons en second lieu la phase de détente. Soient P., P^ deux situations quelconques du piston ; p^, p^ les pressions correspondantes; U^, Up l'énergie interne de l'unité de poids 4 TJ le travail recueilli de l'une à l'autre de ces deux positions; enfin OJ la chaleur

cédée par le fluide à la paroi dans le même intervalle. On pourra écrire :

m -= U. ^- Up - ATI

(*) Dwelshauvers-Dery [Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse, ^b juin 1888, p. 93. — Bulletin de la Société d'encouragement pour l'industrie nalionalej 1800. — Revue universelle des mines et de la métallurgie, iuin 1888, p. 505, et t. V, p. 111). — Bryan Donkin et Dwelshauvers-Dery. Minutes of Proceedings of civil Engineers, 1889.

— Sinigaglia. Traité des machines à vapeur. Traduction par de Billy, p. 95. —

— Engineering, 1888.

{*) Leloutre. Vérification d'une série d'essais sur une machine de Wolf, 1885, grand in-8*, p. 19.

if) Que Ton peut, comme à l'ordinaire, compter à partir de la température de la glace fondante, puisque cette fonction ne s'introduit ici que par des différences de valeurs successives.

La valeur de TJ sera relevée sur le diagramme de Tindicaleur. On calcule approximativement, d*après la foi*mule de Mariotte, à Taide des pressions p., Pp, les températures correspondantes fournies par la loi de Regnault» et par suite les valeurs de U, et U^. Si celle de Q* s*annule, on a un résultat adiabatique pour cet intervalle; si elle est positive, il y a cession de la vapeur au métal, ou en sens contraire si cette valeur est négative.

603 — On peut donc, à l'aide d*un certain nombre de semblables évaluations, construire un profil que M. Dwelshauvers-Dery appelle le diagramme des échanges.

On calcule à cet effet une ordonnée moyenne, capable de représenter EQ2 en regard du même segment de Taxe des abscisses que T||. La série des sommets de ces ordonnées fournit le graphique cherché. L'auteur porte au-dessus de Taxe les échanges de la vapeur au métal, et au-dessous les rétrocessions de la paroi au fluide.

Les périodes d'admission ou d'échappement donnent des horizontales relatives à la valeur moyenne, la seule que Ton connaisse d'après le total Q^ ou Q,. Celles de détente et de compression fournissent des courbes, quand on opère à l'aide de segments restreints et nombreux. On peut également les remplacer par l'horizontale moyenne. M. Dwelshauvcrs-Dery emploie aussi, sous le nom de courbes probables, des paraboles cubiques présentant la même aire que les rectangles en question. Dans la pratique, la construction de ces diagrammes est très laborieuse.

B04L — On peut rapprocher de ces courbes de travail, des diagrammes de température représentant, pour les diverses parties de la paroi, son état thermique.

A cet effet, MM. Dwelshauvers-Dery et Donkin répartissent la surface cylindrique en anneaux, dont les hauteurs, inégales entre elles, sont choisies de manière à correspondre à des intervalles égaux de temps, ou de rotation. On admet que, pendant la communication avec le condenseur, la température reste la même que

dans cette enceinte, et que, dès que le contact est établi avec la vapeur, elle devient égale à celle de ce fluide. Or nous avons déjà vu que Ton peut déterminer cette dernière à Taide des tables de Regnault, en relevant les pressions sur le diagramme de Findicateur. On admet également que, pendant tout le temps qu'une portion de paroi est recouverte par le piston, elle conserve la température qu'elle avait au moment précis de Tarrivée de celui-ci. Assurément ces diverses hypothèses ne sont rien moins que démontrées, mais elles sont très rationnellement assises (*).

FORIIIUI.ES BE HIB8CH

605 — Théorie générale. — II était naturel, bien que fort malaisé, de songer à utiliser, pour Ictude des effets de transmission de la chaleur dans la masse métallique des parois du cylindre* les méthodes de thermologie analytique qui ont été instituées par d'illustres géomètres, et principalement par Fourier. Les premiers essais dans ce sens sont dus à M. Grashof ('). M. Kirsch a depuis lors donné à ces recherches un développement remarquable (% dont MM. Ilcnrotte et Issel de Schepper ont présenté un résumé (*). Nous chercherons à condenser ici ces investigations sous une forme aussi simple qu'il nous sera possible. •

La figure complète de la surface qui se trouve au contact de la vapeur (paroi cylindrique, fonds, lumières, piston, tige, etc.) est beaucoup trop compliquée, ainsi que d'autre part le régime ther-

(*) C'est évidemment tout ce que comporte, en fait d'approximation, la question dans son état actuel. Dans la réalité, les phénomènes sont bien plus complexes (Expériences de Dulong et Petit sur le refroidissement. — ^Viti. ThHe de. doctoral. — Madamet. Thermodynamique^ p. 11)8, 200. — •Woirhayc. Mémorial du génie maritime^ 1877).

(') Grashof. Mouvement de la chaleur dans les parois du cylindre. ZeiUchrift de9 Vereinet deuUcher Ingenieure, 4884.

(') Kii*sch. Die Uewegung der Wàrme in den Cylindertoandungen der. Dampfmai chinen, Leipzig, 1886, in-8*.

(*) Bévue universelle det minet et de la métallurgie^ 5" série, t. VI, p. 40, 1880. — — M. Gavalli vient de publier un. travail important sur le même sujet.

DOUBLE EMELOPPE. — THÉORIE. 61

inique du fluide lui-même, pour qu'il y ait lieu d'espérer que des formules suffisamment accessibles à la pratique arrivent à fournir rintégrale rigoureuse d'un tel problème. Il convient donc de nous borner à discuter le cas le plus élémentaire de la théorie : celui d'une plaque indéfinie, dont les divers plans parallèles possèdent chacun une température uniforme dans toute leur étendue, variable d'ailleurs de Tun à l'autre (*). Réduite à ces termes, la question d'application restera encore extrêmement complexe.

606 — Nous désignerons par t le temps, et par x la distance comptée à partir de la surface interne. Pour fixer les idées de la manière la plus naturelle, nous considérerons cette dernière comme étant normalement la plus chaude ; de telle sorte que la température t soit une fonction décroissante à partir de cette paroi, et sa

dérivée partielle •:r-- une quantité négative. Des oppositions de signe

dans les résultats effectifs nous feront connaître, le cas échéant, les intervalles de temps ou de lieu pour lesquels cet état de choses se trouverait interverti.

La flux thermique qui traverse une surface S sera proportionnel à cette étendue, au coefficient de conductibilité y, au temps élémentaire d^ pendant lequel on envisage le phénomène, et à l'écart de température des deux faces de cette tranche infiniment mince,

c'est-à-dire à la valeur absolue — -:^ de la dérivée partielle dont nous avons parlé :

(5) -Sr-^rf-

La quantité de chaleur qui franchira la seconde paroi d'un bloc d'épaisseur dx^ sera représentée par cette môme fonction augmentée de sa propre différentielle partielle relative à or, d savoir :

.(«) (EiivrM de Fourieiv t. I, p. 118, in-4% Gauthier-Villars, 1889.— Lamé. Leçon» mur la théorie analytique de la chaleur ^ p. 15 et 30(3.

La différence de rentrée à la sortie, c'est-à-dire

St iwT ^•^^^»

'dx*

représente par suite le calorique qui est resté dans la tranche, en y déterminant, pendant le temps e^x, un accroissement de température -=r- dt.

On peut, d'autre part, donner de cette quantité de chaleur une seconde expression, en appelant p le poids spécifique du métal. Le

nombre de calories nécessaire pour élever sa température de -:r- dx

sera en effet proportionnel à cet accroissement, à la chaleur spécifique c, et au poids pS àxàelà tranche :

pcSdx-:r-~dx.

En égalant entre elles ces deux fonctions, nous obtenons Téqua^ tion différentielle partielle (*) :

ZH __ pc T^t

On en peut avec avantage éliminer le temps, en introduisant à sa place l'angle de rotation (p au moyen de l'égalité :

fR\ ^ y ,— ^^

(b) lûr^^'Q — » ^ = — 9»

^ ' oU znit n-K

dans laquelle n représente le nombre de tours par minute. IL vient ainsi :

(*) On peut admettre, pour les paramètres, les valeurs suivantes relatives i la fonte de moulage :

(Henrotte. Revue tutiverselle des minet et de la métallurgie, 3* série, t. VI, p. 56. ' — Claudel. Formulent tablett elc.^ p. 325.)

DOUBLE ENVELOPPE. — THÉOWE. 63

5*/ ncpii 3/

OU plus simplement (*) :

si nous faisons pour abréger :

ncpr.

•07 — Rappelons brièvement la méthode qui permet d'intégrer les équations de ce type.

L'expression :

fournit une intégrale particulière, quelles que soient les valeurs des constantes A et C, à la condition que B soit remplacé par une fonction convenablement choisie de A. En effet, pour former les diverses dérivées partielles, on devra conserver la fonction elle-même, en la multipliant par certaines puissances de A ou de B. L'exponentielle disparaîtra donc, ainsi que C, de l'égalité (7) quand on l'y substituera à la place de t. Par conséquent C reste arbitraire, et il ne subsiste qu'une relation déterminée entre A et B.

Il est bien entendu que A, et par suite B, sont susceptibles de la forme complexe composée d'un terme réel et d'une partie imaginaire. Toutefois, comme nous ne pouvons accepter pour le problème actuel que des solutions réelles, il sera plus convenable de substituer dans de pareilles expressions, à la forme exponentielle imaginaire, la fonction suivante, qui lui est équivalente eu égard à l'indétermination de ses éléments, et dans laquelle tous les paramètres restent essentiellement réels :

Ce*"*"*'cos(fla:H-p9).

(') Cette équation différentielle a été étudiée en elle-même par divers auteurs (Appell. Sur la théorie de la chaleur. Comptes rendus de V Académie des sciences^ t. CX, p. 1061. — Madame de Kowalewski. Journal de Crelle, t. 80 ; etc.)*

L'cqualion diflertintiellc partielle étant linéaire, la somme de toutes les solutions particulières ainsi obtenues satisfera également, et constituera l'intégrale générale. Nous pouvons donc poser :

t =r V.X -f- F -f- 1 [C^"' ^ ^' ces {tXX -h pç)] ,

en adjoignant encore une fonction linéaire quelconque de la distance, qui disparait d'elle-même dans les différentiations, quels que soient ses coeflicients E, F.

Ce nombre iniini de paramètres correspond à l'indétermination de l'état thermique initial. 11 reste à en effectuer la recherche dans chaque cas particulier, lorsque les circonstances se trouvent suffisamment définies à cet égard.

608 — Dans le problème d'application que nous avons à traiter ici, l'on suppose essentiellement qu'un état de régime est établi dans le cylindre, avec une périodicité mz, que nous aurons avantage à laisser pour le moment quelconque. Elle sera précisée en temps et lieu, suivant les divers cas qui peuvent se présenter, et servira alors à déterminer ^ dans la fonction périodique. JNous pouvons toutefois dès à présent considérer comme essentiellement positif ce dernier élément qui figure sous un cosinus. Quant à l'exponentielle, elle ne saurait, d'après cette remarque, renfermer l'angle de rotation. Nous devons donc faire b = 0.

Nous prendrons en conséquence comme solution simple :

T = Ce«^ cos f « r -T- p9) , ce qui donne :

— — pCe-' sin (ox -+- P?) ,

-— z^ Ce" [a cos (ar -f p?) — a sin (xr -}- pç)] , ^ r= Ce-' [(a» — a») cos (ax ■+- pf) — 2a« sin («r 4- P?)] . Quand on substitue ces expressions dans l'équation (7), le coeffi-

DOUBLE ENVELOPPE. — THÉORIE. e$

cient C ainsi que Texponentiellc disparaissent, et il Vient, en annulant séparément les coefiieients du sinus et du cosinus :

a» — a» = 0, aoL = kp.

La première relation nous donne :

a == lîz a

et la seconde devient par là :

mais comme le second membre a été supposé positif, nous ne dcTroiis conserver que le signe supérieur. On tire alors de cette équation, avec un nouveau double signe distinct du précédent :

Nous devons maintenant faire remarquer que la variation de température ne peut évidemment qu'aller en s'atténuant lorsque, par la pensée, Ton s*enfonce indéfiniment dans la paroi. Or, avec le signe positif, elle augmenterait au contraire au delà de toutes limites. Il ne nous faut donc conserver cette fois que le signe inférieur.

Si nous réunissons maintenant toutes les solutions simples caractérisées par les diverses valeurs que prendra l'indéterminée ^t il vient comme intégrale complète du problème proposé :

(9) < = Ex 4- F -h S [Cc"*^ cos (pç — xv/Âp)] .

— Cherchons actuellement Texprcssion du flux de chaleur. Nous avons trouvé ci-dessus, d'une manière générale (5, p. 61), son expression différentielle, qui devient, en la rapportant à l'unité de section :