PENDULE CONIQUE

857 — Walt a eu, le premier, Tidée d'adapter à la machine à vapeur un gouverneur. Il désignait sous ce nom, auquel l'usage a substitué celui de régulateur ou de modérateur, un appareil très ingénieux destiné à régler à chaque instant la dépense de puissance motrice d'après la variation que peut éprouver la résistance. Sans cela, en eiïet, la déséquilibration de ces deux influences provoquerait des accélérations ou des ralentissements, nuisibles à la bonne exécution de la besogne industrielle que l'on a en vue.

Un appareil de cette nature comprend d'abord un organe directement sensible aux variations de la marche, et capable de se déformer sous leur influence; en second lieu, une connexion destinée à manœuvrer, comme conséquence de cette déformation, les éléments de la distribution. Nous reviendrons ultérieurement sur cette seconde partie (n® 912), en nous attachant tout d'abord à l'appareil déformable.

— Le point de départ de ces recherches se trouve dans le pendule conique de Watt (fig. 552). Ce système comprend deux boules (*) B, B' (fig. 533), emmanchées à l'extrémité des

(') Auxciuelles on donne parfois la forme Icnticulair.', pour diminuer la résistance de l'air.

tiges OB, OB' qui sont articulées à un point 0 de l'axe de rotation, et susceptibles de s'en écarter plus ou moins sous un angle a. Les tringles MA, MA' relient ces tiges au manchon M, dont les déplacements le long de Taxe OM sont utilisés pour la réglementation de la distribution (*).

L'appareil étant symétrique, il nous suffit d'en envisager ici la moitié. Nous commencerons, pour plus de simplicité, par réduire la boule B à un simple point matériel, en négligeant, d'autre part, la masse de toutes les autres pièces. Si nous rapportons le

mobile à un système de comparaison tournant uniformément avec la môme vitesse angulaire o), nous devrons le considérer comme en repos relatif, et exprimer pour cela l'équilibre entre les forces réelles et la force centrifuge.

Les premières comprennent le poids mg de la boule; une certaine réaclion N exercée par la tige suivant sa propre longueur, qui est normale au cercle d'écartement ; et enfin une force F, que l'on peut toujours supposer tangentielle à ce cercle, et à laquelle on attribuera précisément l'intensité nécessaire pour maintenir le système à sa forme actuelle. Cette force sera nulle dans les positions d'équilibre spontané, et prendra, pour un écartement quelconque <z, une valeur variable avec cet angle. Quant à la force centrifuge, elle est égale à wiw'/sina, puisque /sina mesure le rayon de rotation.

Le système étant à liaison complète, une seule relation est nécessaire et suffisante pour son équilibre. C'est celle qui annule l'ensemble des travaux virtuels relatifs au seul déplacement com-

Fig. 532. — Gouverneur de Walt ((élévation).

(') On doit recommander de placer la zone de rotation des boules hors de la portée du public qui peut fréquenter l'atelier, ou de l'environner d'un grillage de protection.

lier-

pin

^Ir

patibic avec les liaisons, à savoir le mouvement d*écartement. Comme d'ailleurs nous n'attribuons de masse qu'à l'unique point B« cette condition se réduit à l'équalion de projection, sur la tangente au cercle, des forces qui le sollicitent.

►mco*! SinoC

Fig. o33

Il vient par là :

F -+- mjf sin a — mwV sin a . ces a == 0 ,

et l'on en déduit :

F = m sin a (w*/ ces « — g).

859 — La position d'équilibre spontané correspond à l'hypothèse F = 0. Nous voyons que ce résultat peut s'obtenir de deux manières différentes, selon que l'on pose l'une ou l'autre (des deux conditions suivantes :

sin a = 0,

CD*/ ces a — g = 0.

On déduit de là ces Irois solutions :

(2) cOSai = -J^, «, = 0, «3 = 1:.

Cette dernière ne saurait être prise en considération, puisque le système articulé ne permet pas le renversement qui serait nécessaire pour atteindre cette position culminante. Les deux autres peuvent se rencontrer, mais dans des conditions bien distinctes qu'il faut analyser attentivement.

La position a^ est stable; c'est-à-dire que si le système subit à partir de là un dérangement suffisamment petit, il tend à rentrer dans cette situation. Imaginons en effet que Ton veuille maintenir la boule sous un angle a légèrement supérieur à a,, on aura identiquement :

COS a <; ces «1 < -^ ,

d'où :

tû'/ COS a — 5f < 0.

La valeur (1) de la force F capable de conserver l'écart supplémentaire a — a, sera donc négative, c'est-à-dire dirigée vers le haut; preuve manifeste que si l'on abandonne la boule à elle-même, elle reviendra vers le bas, en se rapprochant de la position B^. On reconnaîtrait de la môme manière que si l'on refoule la boule au-dessous de B^, elle aura d'elle-même tendance à remonter vers ce point.'

Cette situation stable n'existe pas toujours. Il faut en efTet, pour la réalité de l'angle a^ que Ton ait :

(5) ces a, < 1 , w >

Si la vitesse angulaire décroit progressivement en tendant vers cette limite, a, s'abaisse peu à peu jusqu'à zéro, et la boule retombe sur l'axe. Au-dessous, la valeur de a, cesse d'exister, mais a, prend alors sa place avec la valeur (2) qui est également nulle; et

le pendule reste inerte suivant la verticale, quelle que soit alors la valeur de la vitesse angulaire.

Cette situation est devenue stable dans ces conditions. Si en eflet on écarte la boule sous un petit angle a, Thypothèse :

donne :

et a fortiori

w'/ cos« <; j,

(ùH cos a — Jf < 0 ,

ce qui indique, comme ci-dessus, une tendance de la boule à redescendre vers le point le plus bas.

Mais cette stabilité n*appartient plus 5 la solution a,, lorsque la vitesse est supérieure à la limite (3). Il existe en effet dans ce cas une valeur a^ et nous avons reconnu qu'alors la tendance est ascendante pour tous les angles compris entre elle et zéro ; ce qui tend à éloigner de plus en plus la boule de la situation verticale a, = 0, pour le moindre dérangement.

Concluons donc qu'il existe toujours une position stable et une seule, laquelle reste verticale pour les vitesses inférieures à la limite (3), et s'en écarte ensuite progressivement suivant la formule (2). Il est bon de remarquer d'ailleurs que Ton reste maître de cette limite en disposant de la longueur / de la tige (').

(') Pour en donner une idée effectÎYet appelons n le nombre de tours que le système décrit par minute autour de l'axe vertical. On aura :

2 flic

et par suite :

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