BÉ61JI.ATEIJR A BOULES

860 — L'analyse précédente ne constitue qu'une première approximation y dans laquelle nous avons supposé le pendule conique abandonné à lui-même, indépendamment de la réaction qu'oppose en réalité sur le manchon le mécanisme de distribution placé sous son influence. Il y a lieu maintenant d'envisager, dans les conditions de la pratique, le même système, que nous continuerons à réduire à Tune de ses moitiés, en raison de la symétrie (*).

Nous établirons encore la condition d'équilibre entre les forces réelles et les forces centrifuges des diverses parties, en égalant à zéro les sommes de leurs travaux virtuels, évalués par rapport au mouvement d'écartement qui seul est compatible avec les liaisons.

En ce qui concerne la réduction de l'ensemble des forces centrifuges à leur plus simple expression, il est permis de supposer la masse de la lentille concentrée en son centre de figure. Pour le montrer, envisageons une tranche infinitésimale comprise entre deux plans horizontaux. A un élément matériel m correspond une force

c'est-à-dire :

Si par exemple le système exécute im tour par seconde, ce qui suppose n =i 00| il vient / ^ 0",2484 ou environ 0",25 ; longueur très acceptable.

On a d'ailleurs, pour les allures trop lentes de la machine, la ressource de multiplier la vitesse de l'arbre moteur, à l'aide du train de roues d'angle qui est chargé de la transmettre à l'axe vertical du modérateur.

(') Poncelet. Cour* autographié de VÉcoU de Metz, 18ti6, section 2, p. i3. — Dwelshauvers-Dcry (Bulletin de la Société induetrielle de Mulhouse, t. LIX, p. 42. — Revue universelle des mines et de la métallurgie, 1872, p. 211. — Musée de Vindustrie, 1860J. — Tresca. Feuilles autographiées du Cours de V École centrale, 1869, p. 308. — Résal. Traité de mécanique générale, t. UI, p. 194. — Buchetti. Les machines à vapeur actuelles, p. 219. — Farey. Histoire de la machine à vapeur, p. 465. — Mahistre. Cours de mécanique appliquée, p. 178. — SinigagUa. Traité des machines A vapeur. Traduction de Billy, p. 224.

centrifuge mcjV, que Ton peut considérer comme appliquée au point où le rayon r rencontre Taxe de rotation, en l'y décomposant en deux autres suivant deux axes rectangulaires. Ces dernières seront miù^x et mu)'t/. On pourra par suite, pour tout l'ensemble dé la tranche, les réunir en deux sommes, qui seront respectivement iù^lmx et (ù^Lmy, c'est-à-dire w'MX et w'MY, si X et Y désignent les coordonnées du centre de gravité de la tranche.

Le résultat est donc le même que si l'on condensait par la pensée les masses de ces diverses tranches en leurs centres respectifs, tous situés évidemment sur une parallèle à l'axe de rotation. Si Ion opère ainsi, les forces centrifuges des divers produits de ces condensations se trouveront toutes comprises dans le même plan méridien, parallèles entre elles et proportionnelles aux masses; réductibles par suite à une seule appliquée en leur centre de gravité, qui n'est autre que celui de la lentille. La résultante finale aura donc pour valeur :

(4) M''></ sin

861 — Quant à la tige OB, nous ferons abstraction de la petite moulure qui accompagne son insertion dans la boule, et, comme compensation, nous prolongerons par la pensée la tige jusqu'au centre de cette dernière. Les forces centrifuges des divers éléments de la masse m de cette droite sont proportionnelles aux distances de ces derniers à l'axe. Leurs valeurs respectives sont donc représentées par les zones successives du triangle rectangle qui a pour hypoténuse la tige /. Le résultat de la composition de ces forces sera par conséquent égal à la force centrifuge de l'aire totale, représentée par la moitié de cette hypoténuse :

-rr- mtùH sm a.

En outre, cette force passera par le centre de gravité de ce trian* gle, c'est-à-dire au tiers de la longueur de la tige à partir du centre de la lentille.

44â MACHINES A VAPEUR.

. Celte résultante peut être à son tour décomposée d'après la règle des forces parallèles en deux autres appliquées Tune en 0, l'autre en B. La première n'aura pas à figurer dans l'équation des travaux

virtuels, puisqu'elle agit sur un point fixe. La seconde sera égale

aux s de la résultante, c'est-à-dire à :

(5) -^-mw'/ sin «.

> En raisonnant de la même manière pour la tige MA, de masse (a,

l'on réduira finalement l'ensemble de ses forces centrifuges (sauf

une composante agissant sur le point fixe M) à une force appliquée

en Â, et égale à :

-^ jico*/' sin a ,

si V désigne la portion OÂ de la longueur /. Cet effort se décompose à son tour en une force appliquée au point fixe 0, et une seconde en B, ayant pour valeur :

. (6) -^ |jiw« -y- sin a.

' En résumé donc, si Ton écarte les composantes qui n'ont pas de travail virtuel comme agissant sur des points invariables, l'ensemble des forces centrifuges peut être remplacé par une résultante unique /", qui serait appliquée horizontalement en B, et qui réunirait dans son intensité les trois composantes (4), (5), (6) que nous venons d'évaluer successivement :

(7) ^ == y '^'^ ^*'^ « (SM + m 4- Il ~\

862 — En ce qui concerne en second lieu les forces réelles, nous rencontrons d'abord le poids M^ de la boule, qui est appliqué en B.

En second lieu, celui mg de la tige. Il agit sur son milieu; et

RÉGULATEURS A FORCE CliNTRIFUGE. 413

nous le décomposerons en deux forces égales chacune à sa moitié

x mg^ affectées, la première au point fixe 0, la seconde à Textré-

mité B.

Le poids (a^ de la tringle MA se remplace également par deux

forces ^ [ig sollicitant, l'une le manchon M, l'autre le point Â.

Enfin cette dernière se décompose à son tour en une force appli-

•1 V quée an point fixe 0, et une smlre ^[f.g. - agissant en B.

En résumé l'action de la pesanteur peut être représentée au point de vue de son travail virtuel, par deux forces à savoir : un effort /*, appliqué à la boule B :

(8) /; = ^2M + m-Fj.^)|

et un autre /*, sur le manchon M :

si p désigne le propre poids de cet organe, qui atteint quelquefois une valeur très considérable, comme dans le régulateur Porter (*) (fig. 534), et <^ la force extérieure qui lui résiste lorsqu'il attaque la distribution. La moitié seulement de ces deux dernières forces doit d'ailleurs entrer dans lexprcssion de /*,, qui est destinée h l'équation d'équilibre d'une des deux parties de l'appareil.

868 — Il est maintenant facile de poser cette relation entre

(*) Tresca. Étude» êur l'Exposition de 1862. — Worms de Romilly. Annaleê de» tnineê, 7* «térie, t. I, p. 50. — Spineux. De la distribution de la vapeur dan» le» machine», p. 252. — DwelshauYcrs-Dcry. Revue univereelle de» mine» et de la métallurgie, t. XXXV, p. 54. — V. Lebeau. De» régulateur» appliqué» aux machine» à vapeur, Liège, 1800, p. 30. — Compte rendu men»uel de» eéance» de la Société de Cinduetrie minérale de Saint-Élienne, 1R70, p. 157. ^ Engineering, 28 février 1879* — The Engineer, 25 octobre 1878, p. 299. — Sinigaglia. Traité de» maehinef à vapeur. Traduction de Billy, p. 226.

4il MACHINES A YAPEl'R.

les trois Torces f, /",, /",. Appelons z la distance qui sépare le manchon de l'articulalion supérieure. Pour un écartemcnt virtuel dx

Fig. 331. - n.igulaleur Porter (*l énlion).

imprimé à la tige, cet organe s'élèvera le long de l'aie d'une quantité — dz. On a donc comme expression de la somme des travaux virtuels :

f.<h cos « — /-.Wa sin » — f.dz — 0.

Pour en éliminer le rapport des vitesses virtuelles, nous emploie* rons l'égalité :

i — / cos » + V^^' — /'■ sin' a,

dans laquelle >. désigne la longueur de la tringle HA. Il vient eo la différenliant :

/ /'■ sin a C09 » \ ,

\ V"' — /'' sin' a /

ce qui transforme ainsi l'équation précédente ■

//cosa — /;/sJll a — /;/'sina (1 H . \^^ . ==- ) = 0.

Lorsque nous y substituerons les valeurs (7), (8), (9), celte condition se décomposera en deux autres, car f renferme dans son expression (7) le facteur sin a, qui devient dès lors commun à lous les termes. Nous poserons donc d'une part :

sin a = 0, et de l'autre :

j (0 V ces a (3 M 4- m 4- Pi Ç) — (2 M -{- m -h 11 j) -1^

Vf *x /. ces « \ n

La première reproduit les solutions (2) :

a, = 0, a- = ff,

que nous avons déjà rencontrées pour l'équilibre spontané, et qui ne jouent plus d'ailleurs ici qu'un rôle purement théorique, puisque avec l'appareil réel tel que nous le considérons maintenant, le diamètre des boules et les autres épaisseurs empêchent les centres de parvenir jusqu'à l'axe de rotation.

864 — La véritable solution de la question est donc fournie par la formule (10). Pour connaître la situation dans laquelle le système se tient de lui-même en équilibre, on y fera ^^ ==0, et l'on tirera la valeur correspondante de cos a d'une équation du quatrième degré.

On peut opérer inversement, en supposant directement évaluée d'après le dispositif du moteur, quand il sera spécifié dans chaque cas, la résistance 4» qu'il est nécessaire de vaincre pour ébranler le mécanisme de distribution, de manière à y faire varier la détente. Son expression sera une fonction de l'écart a, à partir duquel on

446 MACHINES A YAPEUB.

veut faire exécuter par le régulateur ce démarrage. L'équation (10 bis) ainsi transformée fournira immédiatement la valeur ci>' de la vitesse angulaire capable d'opérer cette mise en action.

Pour déterminer le mouvement inverse, une vitesse w" sera de môme nécessaire. On la déduira deTéquation (10 ter), dans laquelle on aurait changé le signe de ^y et substitué de même Tcxpression de cette force.

Cela posé, si Ton admet qu'une vitesse û placée en dehors des limites b>', o)'' vienne à prendre subitement naissance, le système commencera à s'ébranler à partir de l'angle a auquel elles se rapportent. La déformation se développera progressivement ; et il y a lieu de se demander jusqu'où elle s'étendra. Pour connaître la nouvelle situation qui laisse l'influence de û hors d'état de continuer à traîner la distribution, en surmontant la force <^ (% l'on reprendra la relation (10 bis), ou (10 ter), suivant le sens du mouvement considéré, et l'on y remplacera le symbole général w par sa valeur spéciale Û. 11 suffira ensuite de résoudre cette équation du quatrième degré en a.

ISOCHRONISNE

865 — Généralités. — La véritable destination du régulateur est de maintenir la constance de l'allure du moteur. Or sa forme dépend de la vitesse, et ce ne peut être cependant que par sa déformation qu'il sera capable d'agir sur la distribution, comme de maintenir à chaque instant l'équivalence entre la puissance motrice et la résistance dont on prévoit la variabilité. Il semble d'après cela y avoir contradiclion dans les termes mômes d'un problème ainsi posé.

Et en effet le régulateur de Watt, tel que nous venons de le considérer, présente un défaut fondamental. Si la résistance vient

à diminuer, la vitesse augmente, les boules s'écartent, le man-

- (■) Nous écartoDs pour le moment la considération du lancée ou de la force vive acquise par l'appareil, nous rései*vant de revenir sur ce point (n** 883}.

RÉGULATEURS A FORCE CENTRIFUGE, 4î7

clion monte, et il ne cessera de raccourcir progressivement Tadmis-^ sion que lorsque la production du travail moteur se sera abaissée au point de redevenir égale à la nouvelle valeur du travail résistant. Mais à ce moment nous n'avons que le choix de deux manières d'être : ou bien le modérateur redescendra dans la seule position qui soit compatible avec la vitesse voulue, et dès lors la compensation qui vient d'être atteinte disparaissant, tout sera à recom* mcncer; ou bien, pour conserver ce résultat, et par conséquent garder Técartement que Ion vient d'obtenir, il faudra continuer de marcher avec une vitesse supérieure à la première, comme seule capable de maintenir le nouvel état de choses dans le régulateur. Or c'est précisément le contraire de la constance demandée.

866 — On s'est trouvé conduit, pour sortir de cette difficulté, à modifier le dispositif et les propriétés du système, en vue de s'affranchir de cette dépendance forcée entre la vitesse et l'angle d'écart, qui constitue l'obstacle. On cherche alors à réaliser un double but, et à faire en sorte : l"" que l'appareil puisse se tenir indifféremment dans n'importe quelle situation, lorsque la vitesse possède la valeur voulue; â*" qu'il lui soit impossible d*en conserver aucune d'une manière permanente, pour toute autre allure que celle-là.

Supposons réalisées ces conditions, et reprenons l'hypothèse précédente. La diminution de la résistance déterminera une accélération. Le régulateur ne pouvant plus dès lors rester en place, va s'écarter et raccourcir progressivement l'admission, jusqu'à ce que l'excédent anormal de vitesse ait disparu. L'allure étant ainsi redevenue la même, et toute position étant dans ce cas une situation d'équilibre, le modérateur n'aura plus de motif de quitter celle à laquelle il vient de parvenir, et par conséquent la distribution restera de son côté dans l'état où il vient de l'amener.

Un tel régulateu est appelé isochrone ('), ou asiatique ('). La

(1) Parce qu'il tourne toujours dans le même temps, n'étant compatible qu'avec une -seule vitesse.

(*) Par opposition aux régulateurs statiques, qui comportent une équation nécessaire d'équilibre entre a et cd.

448 MÂGHmES A YAPEIR.

première tentative faite dans ce sens est due à Charbonnier ('). Nous pouvons nous rattacher à cet égard à Tanalyse du § l« dans laquelle le mobile avait été réduit pnr la pensée à un simple point matériel.

867 — Régulateur parabolique. — Il est bien clair que' la courbe que ce corps doit être assujetti à décrire ne saurait plus être comme ci-dessus un cercle ayant son centre sur Taxe, puisque nous venons de reconnaître Tincompatibilité de ce mode de liaison avec le but poursuivi. Il doit exister une autre courbe, pour le moment inconnue, dont la condition voulue constitue précisément la défi^ nition, qu'il s'agit seulement de dégager d'une manière explicite.

En quelque point que le corps s'y trouve à chaque instant, on peut lui appliquer les raisonnements précédents (n"" 858), en appelant / la portion de sa normale qui est comprise entre la courbe et l'axe, et par suite / cos a sa sous-normale. L'équation d'équilibre (1) ainsi obtenue :

l ros a = -il-,

tù'

exige donc que la sous-normale de cette ligne soit constante, puisque o) doit rester immuable. On voit par là que le profil dont tous les points procurent, dans ces conditions, le repos relatif n'est autre que la parabole.

. De là le nom du régulateur parabolique qui a fourni la première solution de l'isochronismc, et qui a été réalisé par plusieurs constructeurs (*).

(^) Charbonnier (Bulletin de la Soviélé industrielle de Mit/house, 1842, n* 83. — Détermination du volant et du régulateur à boules, in-8*, 180i). — Tresca. Feuilles autographiées du Cours de VÉcole centrale des arts et manufactures^ 1869, p. 402, — Dwelshauvers-Dery. Revue universelle des mines et de la métallurgie^ t. XXXI, 1872, p. 224.

(^) Régulateur parabolique de Franke (Le Technologis te, t. IX, 1848. — Résal. Mécanique générale, t. III, p. 202. — Bévue universelle des mines et de la métallurgie^ 1*^ série, t. II, p. lOi). — Ré^Iatcur parabolique de DARiQitAitT. Ledieu. Nouvelles machines marines, t. II, p. 207. — Régulateur parabolique de Shyto et Jacc<o!i. Spineux. De la distribution de la vapeur dans les machines, p. 20 i. -^ Régulateur parabolique de Garnett (Ibidem, p. 200. — Bévue universelle des mines et de la métallurgie^ l'* série, t. H, p. 105). — Régulateur parabolique A tiges flexibles (Gallon.

RËGULATEURS A FORGE CENTRIFUGE. 449

868 — Régulateur à bras croisés. — Farcot père a dote la pratique d'un dispositif remarquable que nous pouvons, au point de vue théorique, rattacher ici comme une solution approximative de l'aperçu qui précède ('). Il est connu sous le nom de régulateur à bras croisés (*).

Remplaçons par la pensée, à partir de son sommet, l'arc de parabole par le cercle osculateur de l'un de ses points intermédiaires, et assujettissons la boule, comme dans le gouverneur de Walt, au moyen d'une tige de pendule dont on placera la charnière au centre de courbure de ce cercle. Nous savons que cette moitié de parabole a pour développée une branche de. parabole semicubique située au delà de son axe. C'est donc dans cette région qu'il faudra installer, à l'extrémité d'une potence, l'articulation de la tige ; ce qui donne au système l'aspect représenté par la figure 535.

Pour réaliser le plus complètement possible les conditions théoriques auxquelles nous nous sommes réduits dans la recherche précédente, il convient d'équilibrer l'ensemble formé par la chape et par les pièces placées sous sa dépendance. On y parvient à l'aide d'un ressort, assez long pour que sa tension puisse être regardée

Cours de machines, t. H, p. 270. — Rankine. Manuel de la machine à vapeur. Traduction Richard, p. 580). — Dwelshauvers-Dery. Régulateur parabolique. Revue universelle des mines et de la métallurgie, t. XXXI, 1872, p. 230. — Guyesse. Régulateur parabolique. Journal de V École polytechnique, 54* cahier, 1884, p. 137. — Régulateur à courbe d'équilibre. Bulletin de la Société de l'industrie minérale de Sainl- Étienne, t. IV, p. 195.

H. Marcel Deprez a également imaginé une élégante combinaison cinématique, fondée sur l'emploi d'une roue planétaire, dont le centre décrit rigoureusement une parabole.

(') Approximation bien suflisante, car cette théorie elle-même est établie en négligeant beaucoup d'éléments.

(') Ilinn. Théorie des régulateurs marins isochrones à bras croisés de Farcot, in-8o, p. 17. — Linglin. Nouvelle théorie élémentaire du régulateur à force centrifuge, in-S*^. — Tresca [Bulletin de la Société d^ encouragement, \" août 1860. — Revue universelle des mines et de la métallurgie, 1867). — Armengaud. Publication industrielle, t. XHI. p. 35. — Nahistre. Cours de mécanique appliquée, p. 200. — Georges Marié. Annales des mines, 7* série, t. XIV, p. 476. — Gallon. Cours de machines, t. II, p. 271. — Résal. Mécanique générale, t. III, p. 203. — Ledieu. Nouvelles machines marisieê, t. II, p. 333. — Dwelshauvers-Dery. Revue universelle des mines et de la mét^lurgie, t. XXXI, 1872, p. 232. — Portefeuille économique des machines, septembre 1881. p. 153. — Ilaton de la Goupilliére. Traité des mécauismcit p. 305.