Expression analytique du théorème précédent

Considérons une trajectoire fermée que parcourt un pôle magnétique unité positif, soumis à un champ dont les composantes sont X, Y, Z. Faisons passer par cette trajectoire une surface et considérons le flux, à travers la portion de la surface limitée par la trajectoire, d'un vecteur dont les composantes sont : u, v, w. Appelons l, m, n, les cosinus directeurs de la normale en tout point de la surface.

Ecrivons que le travail du pôle pour un parcours complet de la trajectoire est égal à 47 fois le flux du vecteur :

tx ff (ut om on )as = f(Kde + Ydy + Zds).

Le théorème de Stokes ($ 20) nous apprend qu'il existe entre les composantes des vecteurs u, v, w, et X, Y, Z, les relations :

; dZ dY LUE RES dy FA oX dZ er (1) As dY dX LRU = dx dy .

Nous pouvons les énoncer sous la forme :

Aa ou un Ve Zi

Ces équations entraînent la conservation du flux du vecteur u, v, w; car on a évidemment :

du dv da :

Fe + PRET 0. (2)

Pour retrouver la règle du paragraphe précédent, il suffit de supposer que le courant, au lieu d'être disséminé dans l’espace d’une manière continue, est localisé dans un cireuit. Les composantes u, v, w, représentent les infensilés par unité de surface ; ce sont les vitesses d'écoulement du fluide incompressible auquel l'équation (2) permet d'assimiler l'agent qui se déplace. Ce que nous avons appelé intensité dans les paragraphes précédents, est le flux du vecteur u, v, w, à travers la section droite du conducteur. | |

X, Y, Z, sont les composantes de la force magnétique.

Nous ne supposons rien sur la nature du milieu, qui est le vide ou un corps aimanté, En effet, pour un circuit fermé, le travail des forces dues à des aimants est toujours nul, puisqu'il dépend d'un potentiel qui n’a qu'une seule détermination en chaque point.

Le travail d’un pôle d'aimant, se déplaçant par exemple autour d'un conducteur en fer traversé par un courant, est exactement le même pour un tour complet que si le conducteur était en cuivre. La disposition des lignes de force dans le champ peut être modifiée par l'introduction d'un métal magnétique; le travail total ne l’est pas.