Flux dans les circuits semblables

1°. — Soit F le flux envoyé par un circuit fermé 1 dans un circuit fermé 2. Multiplions par & toutes les dimensions du système.

Le champ produit par À en tous les points d’une surface limitée au circuit 2 (surface que l'opération transforme en une surface semblable) est divisé par «; mais l'aire d'intégration du flux est multiphiée par c.

Donc le flux est multiplié par &.

Nous démontrerons plus loin ($ 99) que le flux envoyé par 1 dans 2 et le flux envoyé par 2 dans 1 ont même expression :

Mic. ; M s'appelle le coefficient d’induction mutuelle. Il résulte de la proposition précédente que M a les dimensions d’une longueur.

2%, __ Posons que F et F+ df sont dans le premier état les flux envoyés par le circuit À dans le circuit 2 occupant successivement deux positions voisines P et P’.

Multiplions par « toutes les dimensions du système.

Les flux pour les deux positions transformées du cireuit 2 sont :

af et alf td)

Soit dæ le déplacement linéaire qui permet de passer de la position P à la position P’ dans le premier état.

La force suivant la variable æ est proportionnelle à df : dx.

Dans le second état, le déplacement dx sera devenu «dx.

La force suivant le déplacement sera donc ad : «dx — df : dx.

D'où le théorème fondamental autrement démontré au paragraphe précédent : La force qui s'exerce entre deux circuits reste la même quand toutes les dimensions sont multipliées par le même facteur.

D'où suit que les couples, par rapport à des axes qui subissent euxmêmes la transformation, sont entre eux comme les dimensions homologues des systèmes semblables.

Les résultats du $ 88 illustrent la première de ces propositions. Pour obtenir deux systèmes semblables, il faut modifier L et r dans le même rapport : la force ne change pas.

Transformons par homothétie un courant rectiligne indéfini et un point quelconque O à la distance À du courant, en prenant pour origine de la transformation un point D du courant. Nous obtenons le même courant et un point O à la distance & : le champ est devenu « fois plus petit.

Fig. 111.

Donc le champ d'un courant rectiligne indéfini est en raison inverse de la distance au courant : c’est la loi fondamentale du $ 75.

3°. — THÉORÈNE D'AMPÈRE.

Trois circuits, plans ou gauches, homothétiques, ont leurs dimensions comme |, %, à? (dans la figure 111, Sa).

On envoie les mêmes courants dans les circuits 1 et 3, un courant quelconque dans le circuit 2 : l'action résultante subie par 2 dans une direction quelconque est nulle.

Nous pouvons considérer le système comme formé de deux systèmes homothétiques (1, 2) et (2, 3); le rapport d'homothétie est à.

Nous savons que l'action exercée par 1 sur 2 est égale et de sens

contraire à l'action exercée par 2 sur { : c'est la proposition énoncée ci-dessus et démontrée au K 99. La proposition à démontrer résulte immédiatement de là et du fait que les forces exercées suivant une direction quelconque entre les parties correspondantes de deux systèmes semblables sont indépendantes des dimensions. l

Les propositions précédentes, en particulier le théorème d'Ampère, n'impliquent pas l'exactitude des lois d’où nous partons. Il suffit que le champ produit par un élément de courant contienne ds : r°, que. la force exercée sur un élément de courant par un autre élément contienne ds ds : r?, comme facteur d'une fonction quelconque des directions.

93. Actions réciproques de deux éléments de courants. Formules diverses.

Les lois réciproques de Biot et Savart et de Laplace permettent

Fig. 112.

de calculer l’action d’un élément de courant ds, sur un autre élé-

ment de courant ds,. Elles conduisent à des conséquences bizarres. Montrons sur un cas particulier que la force exercée par ds, sur ds,

n'est ni égale, ni opposée à la force exercée par ds, sur ds,. Soit O et O’(fig. 112) deux points des éléments ds, et ds,; faisons

passer des plans par OO! et par les éléments. Pour faciliter la représentation, posons que ces plans, qui font généralement l'angle w, sont normaux entre eux.

Choisissant convenablement les axes de coordonnées, nous pou- Vons situer ds, dans le plan yOz, ds, dans le plan yOz.

H, est le champ créé au point O' par ds,; F, est la force électromagnétique qui en résulte sur ds,. On a :

sin 6,

ds, SM 0, cos 6»

r? ? DR = =

F, — ds,;H; sin Ua — ltd 72

H, — nds;

H, est le champ créé au point O par ds,; F, est la force électromagnétique qui en résulte sur ds,. On a :

sin 6, cos 6, r? 3

: sin 6 : : x A is — 5 , F=idsH,sma— utd8,d83

F, et F, sont rectangulaires et n'ont pas la même valeur.

ds, peut agir sur ds,(F,=>0) sans que ds, agisse sur ds (F:=0} il suffit de faire: 6, —175:2.

Ces résultats n'ont rien de surprenant si nous nous rappelons que la loi de Biot et Savart est absolument arbitraire. Elle donne le résultat exact pour un courant fermé, mais une infinité de lois élémentaires sont dans le même cas. |