Potentiel vecteur
Le vecteur induction 93 (de composantes a, b, c) est la résultante du vecteur force F (de composantes X, Y, Z) et du vecteur krd, intensité de polarisation multiplié par 4r (de composantes 4rA, 4xB, krC).
Le flux du vecteur induction est conservatif :
da db dc — ().
dx T dy + Ôz
1 Dans une première lecture, le lecteur passera la fin du chapitre.
Par conséquent, à travers une surface S limitée par une courbe fermée C, le flux dépend de cette courbe et non de la forme de la surface qu'elle limite. On peut donc déterminer le flux d'induction à travers la courbe fermée C par un procédé qui ne met en jeu que la courbe et qui n'implique pas la construction d'une surface passant par la courbe.
C'est ce que nous apprend à faire le théorème de Stokes ($ 20). Le vecteur F, G, H, appelé potentiel vecteur (on verra plus loin pourquoi), et défini par les équations :
dH »6 Crrcuit FE Ôz ?
dF dH Eve x ? (1) AIG AES p Zotentel vecteur CE dy ?
est lel que sa circulation le long d’un contour fermé C égale le flux du vecteur a, b,c, à travers une surface S quelconque limitée
à ce contour (fig. 114).
Nous pouvons écrire :
Arment (a, D, e}== cùrl (F, G, H).
Fig: 114. Partout où l'intensité de
polarisation est nulle, les vecteurs force et induction se confondent. Enfin il peut arriver que
le vecteur à soit proportionnel à la force. Nous avons alors : ayX, b=uY, .c— uZ.
Le flux du vecteur force est conservatif et le potentiel vecteur est
défini, au coefficient y près, par les mêmes équations (1) en fonction des composantes de la force.
96. Potentiel vecteur en fonction de l'intensité d’aimantation de l’aimant producteur du champ.
Cherchons l'expression du potentiel vecteur quand le champ est dû à un aimant dont on donne en tous les points les composantes A, B, C, de l'aimantation. 3
1°. — Posons lr=p. Désignons par r la distance du point O (x; y, z) de l’aimant, au point O'(x+', y', z') extérieur à l'aimant où nous voulons calculer l'induction (a, b, c); elle est identique à la force, puisque en O’ l'aimantation est nulle.
Soit A, B, C, les composantes de l’aimantation dans l'élément de volume dv, dont le centre est en O. Le potentiel 3V créé au point O’ par l'élément de volume dv est ($ 41) :
TU dp ù dp SV — (a ++ ci) dv.
EÉvaluons la composante de de l’induction (de la force par conséquent) due au volume dv. Pour simplifier l'écriture, nous le représenterons par de: dv. On a, d'après l'expression générale de la force en fonction du potentiel :
, DV: OV d° d? 0!
Sas dz' ds . dx0z Fee dyÔz Hi dz° ?
Er dp DpA SO dp dp de: do (8 ci) Se (C AS)
en vertu de l'identité :
Pour démontrer sans calcul cette dernière identité, il suffit de remarquer que p est le potentiel en Ode la masse unité placée en O et agissant en raison inverse du carré de la distance.
Bien que À, B, GC, soient des fonctions de æ, y, z, la dérivation par rapport à z ne porte pas sur ces quantités, parce qu'en réalité {$ 40) nous dérivons par rapport à z et nous changeons de signe.
On a en effet :
(a — 0) + (y y) (2); DFE Ti DoN Dr A ICE D al Po RO
Or A, B, C, ne sont pas fonction de PTE ET A
Nous pouvons écrire € sous une forme équivalente, du fait que les dérivées de p par rapport à æ, y, 7, et par rapport à æ', y', 3, Sont égales et de signes contraires :
PPT ù dp dp ù (c dp —A) Pr mr CB RTE ee dx | * dx 2 J' On a des expressions analogues pour a et b.
9%, __ Il s'agit de trouver le flux du vecteur a, b, c, à travers un
parcours dont les points ont pour coordonnées générales æ', y', 3. D'après le théorème de Stokes, on peut remplacer ce flux par la circulation du vecteur F, G, H, défini par la relation : dG ŸdF E—= da = dy?
et deux relations analogues. Comparant cette expression à celle que
nous venons de trouver, nous voyons que les composantes F, G, H, sont données par les intégrales suivantes, étendues aux volumes : occupés par l’aimant :
Il revient au même de calculer le flux du vecteur a, D, c, à tra- . vers un contour, ou de calculer la circulation du vecteur F, G, H, le long de ce contour.
À, B, C, sont les composantes de l'aimantation dans l'élément de volume dv, p—1l:r est l'inverse de la distance de l'élément de volume au point P considéré du circuit. Les intégrations donnent la valeur du vecteur F, G, H, au point P, sous forme d'une fonction des coordonnées x’, y', 3, qui fixent la position de ce point P.
- 97. Cas d’un feuillet.
1°. — Soit !, m, n les cosinus directeurs de la normale dirigée dans le sens ordinaire — +.
Soit D la puissance du feuillet; on a par définition : Jdu—DdS; Adv—lbdS, Bdv—mbdS, Cdo— nds.
La composante F prend la forme :
dp dp
F est donc, au facteur ® près, le flux, à travers le contour du feuillet, d'un vecteur dont les composantes sont :
“He RrDP Da.
