Distribution des courants dans une plaque
1°. — Dans une plaque mince, plane, également épaisse et conductrice en tous ses points, amenons au moyen d'électrodes punctiformes E,, E,, .… des courants d’intensités L, L, .. Le potentiel est très sensiblement le même, dans l’intérieur de la plaque, en tous les points d'une normale menée à la surface. Nous sommes ramenés à déterminer sur la plaque les lignes équipotentielles et les lignes de courant qui forment deux faisceaux orthogonaux.
La matière du courant ne s'accumulant nulle part, la condition :
est satisfaite en tous points de la plaque hors des électrodes.
La condition étant linéaire, la solution est la somme d’un nombre quelconque de solutions particulières.
Considérons donc une seule électrode E, amenant le courant I, dans une plaque indéfinie.
La solution : An Vi log r, + A,
convient; & est la résistivité, l'épaisseur de la plaque. En effet, le flux total à travers un cylindre de rayon r. et d'épaisseur Ô est constant et égal à I, :
Le courant s'écoule par des électrodes disposées symétriquement à l'infini.
Pour n électrodes et une plaque indéfinie, il faut additionner des solutions de la forme précédente :
MV=N— I log r, + L log re +..]; M=—2r0:p; N est une constante; 7,, r,, … sont les distances aux diverses électrodes, du point où le potentiel est V. Les intensités I sont prises positivement si le courant entre dans la plaque, négativement s’il en sort; ou inversement.
Les lignes équipotentielles satisfont aux conditions équivalentes : ZT log r)— Constante, or ee ren — Constante.
2%. — Déjà, pour une plaque indéfinie, les équations sont plus faciles à poser qu'à résoudre ; pour une plaque finie, le problème direct est quasiment inextricable. Voici comment on procède ($ 118).
Une solution, obtenue pour une plaque indéfinie, est utilisée pour une plaque finie, grâce à la possibilité de découper la plaque le long de toutes les lignes de courant, sans changer la forme des lignes équipotentielles.
Les lignes de courant aboutissent nécessairement aux électrodes.
nn
LOI D'OHM 169
On peut utiliser des électrodes non plus punctiformes, mais finies; il faut alors qu’elles touchent la plaque suivant une des lignes équipotentielles précédemment déterminées.
Ces deux artifices multiplient le nombre des solutions, chaque cas étudié sur le plan indéfini fournissant une infinité de cas pour des plaques limitées.
Pour de telles plaques, la condition : X1—0, est évidemment à satisfaire.
