Flux conservatif et non conservatif

La portion de surface à travers laquelle on considère le flux est nécessairement limitée par une courbe fermée C.

Supposons le vecteur défini dans tout l’espace et faisons passer par la courbe C une infinité de surfaces. Calculons le flux. du vecteur pour les portions de toutes ces surfaces qui sont limitées par la courbe C. Quand le résultat est le même, on dit que le flux est conservatif où qu'il se conserve.

Enonçons ce qui précède en d’autres termes.

Attachons à la courbe C supposée rigide une surface parfaitement déformable. Le flux est conservatif s'il reste le même, quelle que soit la forme que nous donnons à cette surface, l'intégration étant toujours faite jusqu'au contour C.

Cette manière d'opérer a l’avantage que, la déformation de la surface étant continue, on peut toujours distinguer les. faces l’une de l'autre : il n’y a pas ambiguité sur ke signe à donner au flux. |

Tuforème. — Si le flux est conservatif, le flux à travers une surface fermée quelconque est nul. Les normales sont prises positivement toutes vers l’extérieur, ou toutes vers l’intérieur de la surface fermée.

Traçons sur la surface fermée S un contour fermé C qui la sépare en deux parties S, et S.. Puisque le flux est conservatif, il est le même pour les deux surfaces en grandeur et en signe, à condition de prendre les normales (comme l'indiquent les flèches), de manière que par une déformation continue les faces correspondantes des surfaces $, et S, se superposent. On a: F,—$,.

Calculons maintenant le flux à travers la surface fermée S, les normales étant prises toutes vers l'extérieur ou toutes vers l'intérieur. Il faut changer le signe de l’un des flux précédemment calculés. Donc la somme : Ef.+$, est nulle.

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