Règle de Fresnel

1°. — On a souvent à additionner des mouvements vibratoires de même période, présentant des différences de phases.

Soit à faire la somme des quantités :

a—Acos(wt— a), b—Bcos(ot—f), c—Ccos(ot—7)….

On a identiquement : À

A cos (wt— à) + B cos (wf — 6) +. —R cos (w{— +).

On développe et l’on écrit que les coefficients de sinwt et de

cos wt sont égaux; d'où les conditions :

Asina+Bsinf+...—Rsinp, A cosa—+B cos +...—Rcose.

Élevons au carré et ajoutons membre à membre : R?— ZA2+ 2% AB cos (x —£). ze (4

Divisons membre à membre :

DA sin a *< (2) te Lee ZA cos a Les équations (1) et (2) fournissent les valeurs de R et de &. 2%. — L'interprétation géométrique de ce calcul est connue sous

le nom de règle de Fresnel.

À partir d’une demi-droite de référence quelconque OX, Lot dans le sens de L flèche f :

(arbitrairement choisi) des angles égaux à a, f, … supposés positifs; autrement dit, portons les retards dans le sens f arbitraire ment choisi.

S'ils sont négatifs, (si par suite ils représentent des avances), on les dé-

Fig. 264. crit en sens inverse de la | flèche f.

Portons dans la direction (0,4%) définie par l'angle +, une longueur proportionnelle à A, si À est positif; portons-la en sens inverse, dans la direction (0,—%), si À est négatif.

Nous définissons ainsi des vecteurs OA, OB, .… qui représentent en grandeur et direction les groupes de quantités À, a; B, 6; Composons ces vecteurs : le vecteur résultant représente les quantités cherchées R, p, puisque ses projections, R cos o, R sin p, sur les axes de coordonnées sont égales par construction à la somme sur les mêmes axes des projections des vecteurs composants. Les conditions (1) et (2) sont satisfaites.

3°. — Nous supposons dans ce qui précède que les mouvements sont donnés par des cosinus; nous verrons au paragraphe 256 la raison de ce choix.

Admettons que l’un d'eux se présente sous la forme : À sin (w£— 2), on a :

sin (ot— 3) =cos| 5 — (ut— a) [= cos (ut).

On construit donc le vecteur en sinus comme un vecteur en cosinus, puis on le fait tourner de 90° dans le sens positif. 40, — Soit un mouvement :

a — À cos (wé— x).

Figurons la vitesse :

da :

Ti = — Âw sin (of — à).

Il résulte de la règle précédente, que ce second vecteur est représenté par le vecteur figuratif de 4, multiplié par w et tourné de 90°

dx:dt°

Fig. 265.

dans le sens des avances, si l’on veut, dans le sens inverse des retards.

Figurons l'accélération :

ne À 6° cos (ot — à).

POP PTIT RME

D a PS et

D Cle MT PT

Elle est représentée par le vecteur figuratif de a, multiplié par «° et changé de sens. L'accélération se déduit de la vitesse, comme celle-ci se déduit du vecteur à.

Du reste, la figure 265 montre immédiatement que le vecteur vitesse dx:dt, est en avance de r:2 sur le vecteur x; par suite, le vecteur accélération en avance de % :2 sur le vecteur vitesse; et ainsi de suite.

.ÿo, — Voici un corollaire de la Règle de Fresnel fréquemment utilisé en Électricité et en Optique. Des vecteurs tous égaux, symétriquement disposés autour du point O, ont une résultante nulle.

D'où résulte la nullité des deux sommes suivantes : sina-tsin(a-+ 3e) +-sin(e+E)+.. +sin(a+ SCD).

cosa-cos{ a+ PE) eos (a+ = }+ eos(a + AUUE) 0.