COROLLAIRES

1°. — La proposition s'applique évidemment à une couche d'’épaisseur quelconque de densité uniforme, ou à une couche d’épaisseur quelconque formée de couches concentriques minces de densités uniformes. | 2%. __ Évaluons la force à la surface de la sphère; il faut poser

r—= R : d’ailleurs : Zm—4xr. R°o: d'où : F— 470. , Fi

Nous verrons ($ 36) que ce résultat est absolument général.

32. Action sur un point intérieur d’une couche sphérique, uniforme, infiniment mince.

p 1°. — Soit À un point quel-

conque.

Menons le diamètre AO et le plan

PQ normal à ce diamètre.

Traçons deux cônes infiniment pe- | M tits, opposés par le sommet A et ere d'angle solide do : ils découpent sur

la couche deux éléments dS et dS, faisant avec les génératrices le même angle à.

Q Leurs charges agissent en sens Fig. 26. contraires suivant la même direction.

Les forces qu'ils exercent sont proportionnelles à : Fe do pe do. à

Tr? sin & ?

das

elles sont donc égales : les actions des éléments considérés s’équilibrent. |

Sans rien négliger, nous pouvons décomposer la surface sphérique en groupes de deux éléments dont les effets se détruisent. Pour chaque groupe, les éléments sont de part et d'autre du plan PQ. Done l'action totale de la couche sphérique en tout point intérieur est nulle.

Do, — Réciproquement, parmi toutes les lois fonctions de la distance, la loi en raison inverse du carré est la seule pour laquelle l’action d’une couche uniforme sphérique est nulle en tout point intérieur. e |

En effet, soit o(r):r? la loi de la distance,

Si o(r) est constant, l'action est nulle.

Si o(r) n'est pas constant, nous pourrons toujours trouver deux limites r, et r, entre lesquelles o(r) varie dans le même sens, crott par exemple; do:dr>0.

Traçons une sphère de diamètre : Ti To

Considérons le point A tel que: AM—7r, AN—r:.

Pour les deux cônes opposés par le sommet, les forces sont :

dS .o(r) do dS'.o(r' do 3 RP ne RD — sn he de LR — sina g(r).

Puisque r est plus grand que r’ et que do :dr>0, ona: NT celte conclusion vaut pour un groupe quelconque d'éléments dS, dS, pris de part et d'autre du plan PQ. Comme cette division en groupes ne néglige aucune partie de la surface sphérique, l’action totale de cette surface ne peut être nulle au point À.

Donc, si l’action est nulle, o(r) est constant. CHOTFED,

33. Action d’une sphère homogène en un point situé à l’intérieur.

Soit R le rayon de la sphère, soit r la distance au centre du point considéré. Toutes les couches dont les rayons sont compris entre R et r n’ont aucune action : la seule action résulte de la sphère de rayon 7. Appliquons le théorème du $ 31; soit p la densité de

volume. Tout se passe comme si la masse entière 3 Fr 70 était

‘concentrée au centre et agissait, à la distance r, en raison inverse

de r°.

La force est donc dirigée suivant le rayon et égale à :

4 T3 4 fs Te el TO lue Elle est proportionnelle à la distance au centre.