APPLICATION
Le poids d'un corps qu’on descend dans un puits diminue propor-
tionnellement à la profondeur du puits et de manière que son poids s’annule au centre de la Terre. Ceci, bien entendu, dans l’hypothèse improbable où la Terre pourrait être considérée comme homogène. ;
Donc le poids à la surface de la Terre est un maximum. Plus exactement, si on représente le poids P en prenant pour abscisses la distance r au centre de la Terre supposée de rayon R, il est donné par une droite quand r varie de 0‘à R, puis par une hyperbole cubique, quand r >>R. Les deux courbes ne se raccordent pas tangentiellement : elles se coupent sous un angle fini pour r—R. Le poids varie d’une manière continue, mais la dérivée dP : dr présente une discontinuité pour r—=R.
34. Action d’une couche circulaire de densité uniforme 5 en un point À de son axe. Action d’un plan indéfini. | (
19. — Nous appelons are d'une couche circulaire la normale OA à son plan élevée au centre O du cercle (fig. 15, $ 23).
Par raison de symétrie, la force F que nous cherchons est dirigée suivant l’axe ; additionnons donc toutes les composantes suivant l’axe des forces f dues à chaque élément de la couche.
La force f due à l'élément dS est : 6dS: d?, où d est sa distance au point A. La composante utile est : à
f cosa = 6 dS cos à : d°.
dS cosa: d? est l'angle solide sous lequel on voit du point A l'élément dS, puisque la normale à dS, parallèle à OA, fait l'angle & avec la droite qui joint A et dS.
En définitive, la force F exercée au point À est dirigée suivant l'axe et égale à w.5, où v est l’angle solide sous lequel on voit du point À la couche circulaire.
D'où ($ 23) :
F=— 2r0( 1 — cos 0) — 270 ( RE) vR?+ rè
2. — ACTION SUR UN POINT EXTÉRIEUR D'UN PLAN INDÉFINI RECOUVERT D'UNE COUCHE DE DENSITÉ UNIFORME.
On peut assimiler le plan à un disque de très grand rayon qu’on voit sous l’angle 27. L'action exercée sur un point À par une couche homogène, de densité &, répandue sur un plan indéfini, est normale au plan, indépendante de la distance du point au plan et égale à 273.
35. Champ de révolution autour d’un axe pour les points voisins de cet axe.
Au début de l'étude du Magnétisme, on comprend généralement assez mal l'importance de la condition AV—(. Pour qu’elle
apparaisse nettement, nous allons montrer qu'un champ de révolulion, autour d’un axe Ox est complètement déterminé au voisinage de cet axe par ses valeurs sur l'axe, quelle que soit du reste sa provenance (aimant cylindrique, bobine, .….).
En coordonnées cylindriques æ, , posons, conformément à l'énoncé :
V=V, + Vip Vipt EL Vip D... (4) V;, V;, .… sont des fonctions de la coordonnée x comptée parallèlement à l'axe; b est la distance à l'axe. Nous n’introduisons que les puissances paires de +, parce que le phénomène est de révoluton autour de Ox : il est le même pour pe et —». La condition AV—(0, exprimée en coordonnées cylindriques (Mécanique rationnelle, $ AS), est :
PORTO Vi ne DEV dx? p dp do?
Introduisons (1) dans (2); écrivons que tous les coefficients de » . sont identiquement nuls; d’où la condition : + Vs \9 +47 Eee tee TAN
qui permet de déterminer les fonctions V de proche en proche. On trouve :
2 DV ot DV 5 DEV £ 0 ( 0 ÉER 0 Meme oui OUUÉ Sous 0
que nous écrirons pour simplifier :
2 Æ j V=—at a a = — (a+ +...)
Près de l’axe, on peut limiter le développement à ses deux premiers termes. Le coefficient du terme en £? est nul sur le plan normal à l'axe pour lequel a”—0, c'est-à-dire pour lequel la force suivant l’axe passe par un maximum.
Malgré son aspect rébarbatif, le théorème précédent a des applications {echniques fort importantes.
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