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SRE COURS DE MATHÉM TIQUES GÉNÉRALES va Se ee ae

en fonction de As. Si elle tend vers une valeur parfaitement déter- minée quand As diminue, nous pouvons admettre qu elle aura rigoureusement cette valeur pour s==56:

Nous définirons ainsi la limite du quotient :

As ds Me ri .

lim = — — — dérivée de s par rapport à é.

“At: 41 | 3. — Fixons les idées par un exemple. Prenons comme loi du

mouvement :

— al + bl+c; (45 Ra: s + As —a(t + At? b(tH At) +c, Ae—(2at battant, S—at+b+adt (2)

Ainsi le quotient As:Af a une valeur (2) parfaitement déterminée, quels que soient Af et par suite As. Cette valeur s'approche indéfiniment de 2af—h, quand Aëf tend vers 0. Nous poserons que la valeur limite est exactement 2af<+b, pour At—0, et nous ÉCrirons :

AS RO ST — Him RES 2at + b.

4°. — D'une manière générale, soit s— /{£) la loi du mouvement.

Le symbole signifie que la fonction s est reliée à la variable t par un procédé que je ne spécifie pas pour le moment, mais dont il me suffit de savoir qu'il permet de calculer la ou les valeurs de s quand je donne la valeur de {; par définition, s est fonction de é#.

Si le temps (qui est ici la variable) subit un accroissement Af, l’espace (qui est ici la fonction) subit un accroissement As. J'écris donc :

s —- As — a

ER At (é D'où : As—/f(t+ At) — f(#), = FE She L à Jusqu'ici rien de nouveau. Supposons que At ae vers 0, le dernier quotient tende vers une valeur bien déterminée; je poserai que pour Al—0, cette valeur est rigoureusement exacle; ce sera la dérivée de s par répport Ne des”: At)— f{é | 7 = lim CE ue fe) pour Af—0. (3) Quant au calcul de cette dérivée, on ne peut évidemment l’effectuer qu’ après avoir choisi la définition de la fonction f : l’opéralion (3) n'est qu'indiquée.

Les quantités ds et dt s'appellent des différentielles. Par définition, elles ne sont ni grandes ni petites; ce sont des quantités qui tendent vers zéro. Ceci posé, dans la pratique on les

repr nte sur les fig ures ta on ee FT comme les différences finies, ‘ As, At, dont elles sont les limites. Cela n’a pas d'inconvénient

LE 7. Représentation de la dérivée. Pente moyenne, pente | vraie.

4°. — Soit une fonction y —/f{x Menons la sécante AB.

- Quand on passe du point Z | de au point B, l'abscisse augmente de AC —- Aœ, Jl'ordonnée de CB — Ay.

La pente de la sécante est complètement délinie A par le rapport Ay : Ax.

C'est la pente moyenne 1 dela fonction y—/(x), entre les ponts A et B.

< A mesure que le pointB 0 ; Pre re se rapproche du point A, Fig. 7.

la sécante tend vers la ‘ tangente; simultanément la pente moyenne tend vers une limite - qui est la pente vraie du point A. La dérivée dy:dx mesure donc la pente de la tangente au A; point À. ke D/ Une fois la limite dy : dx &/ | calculée pour le point À, CV ARES pour déterminer la divection de la tangente, nous FT SRE SE prendrons (fig. 8), à partir JT de A parallèlement à Or, une longueur cuélconque / AC, puis parallèlement | à Lu une À

, représentée par la courbe ABM.